equations différentielles Amérique du nord juin 2006

[invitef0f948db]

Bonsoir ou bonjour (j'sais pas) déjà ! hin ^^

Un p'tit probblème alors
on a une fonction f vérifiant f ' = 4 - (f(x))²
et f(0) = 0

conjecture : f croissante et converge vers 2

approximation de la courbe par Euler evidemment
pas de 0.2.
On a x(0)=0 x(n+1)=0.2 normal ^^
Y(0)=0 Y(n+1)= -0.2*(Yn)² + Yn + 0.8

( D'ailleurs pourquoi : -0.2*(Yn)² + Yn + 0.8 ? On trouve grace à la dérivé avec ?? l'equation de la tengante d'un point ..? )

je dois démontrer que si x appartient à [0;2] alors p(x) apppartient à [0;2]
avec p(x) = -0.2*x²+ x + 0.8

J'ai fait un encadrement de x donc 0<x<2 puis etc..

et la réccurence mais je ne trouve pas.. O_o

Walou
Merci


P.S : les poussieres noires qui suivent notre regard sont des taches embryonnaires. et si elle ne le suivent pas, ce n'est pas normal (enfin d'apres un opticien)
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[invite8a80e525]

Si j'ai bien compris, ta question ne porte que sur:

je dois démontrer que si x appartient à [0;2] alors p(x) apppartient à [0;2]
avec p(x) = -0.2*x²+ x + 0.8

p(x) est un trinome du second degré,
tu peux donc trouver son sens de variation sur [0;2].
A partir de ça tu vas pouvoir conclure...

[invitef0f948db]

oui d'accord je vois. Il n'est pas possible de trouver sans chercher sa variation de 0 à 2 ? Mais je te remercie

As tu une idée de cette affirmation ? pourquoi ? : -0.2*(Yn)² + Yn + 0.8 ? On trouve grace à la dérivé avec ?? l'equation de la tengante d'un point ..? )

Thankx xD

[invite8a80e525]

Il y a peut être une autre méthode, mais celle-ci me semble la plus simple.

Pour 0.2*(Yn)² + Yn + 0.8
je ne suis sur de rien, mais ça doit être quelque chose comme ça:

tu sais qu'au voisinage d'un point on peut remplacer une fonction par la tangente en ce point, pour obtenir une approximation de la fontion autour de ce point (de moins en moins précise au fur et à mesure qu'on s'en éloigne).
Et bien ce polynôme ici semble servir de tangente, sauf que ce n'est pas une droite. C'est un "polynôme tangent" (je pense pas que cela se dise), dont en se sert pour approcher plus finement la fontion qu'avec une simple droite.
Par contre comment le trouver: je n'en sais rien.

Si quelqu'un pouvait confirmer/préciser/infirmer ce que je viens de dire,
merci d'avence...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea3eb043e]

La dérivée, c'est l'accroissement de Y divisé par l'accroissement de x (plus exactement la limite quand l'accroissement de x tend vers zéro).
L'approximation consiste à oublier le passage à la limite.
L'accroissement de Y entre 2 pas, c'est Y(n+1) - Y(n). L'accroissement de x c'est 0,2.
La dérivée c'est donc [Y(n+1) - Y(n)]/0,2 et c'est égal à 4 - Y(n)² à cause de l'équa diff.
Le reste en découle immédiatement.