Nombre de triangle...

[invite37f01ff2]

on prends comme unité un carré dont ont trace les diagonales...

1) quelle est le nombre de triangle dans une unité? ( une unité = 1U)
2) quelle est le nombre de triangle dans un carré de coté 2 U?
3) quelle est le nombre de triangle dans un carré de coté 10 U?

bon courage

Ps: je n est aucune idée du vrai resultats...
Ps 2 : si quelqun peut faire un dessin sa serait super sympa moi jai pas la possibilité...
ps 3 : Merci de spoiler les reponses et de mettre votre cheminement de pensée ( pas trops compliqué svp)
ps 4 : si il y a un amateur de programmation il est le bienvenus
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[shokin]

Salut

Merci de poser les questions mathématiques directement dans la section Mathématique.

Une approche suivante est possible :

Tous les triangles sont isocèles rectangles.

Tu peux considérer qu'il y a huit orientations possibles de ces triangles, puis essayer d'établir une fonction f(U) = nombre de triangles disposés en cette orientation.

NB : comme ton carré a forcément 4 axes de symétrie, le nombre de triangles orientés d'une manière @ sera le même que le nombre de triangles orientés à @+n*pi/2 (n entier).



Une autre approche est de considérer les groupes de triangles selon leur taille.

Il va de soi que le nombre de tailles va augmenter avec U.



Encore une autre approche est la suivante :

chacun de ces triangles isocèles rectangles a un et un seul angle droit.

Tu peux alors te demander : combien de ces triangles rectangles ont l'angle droit en ce point ? (tu verras que à certains points correspond le même nombre de triangles rectangles)



Shokin

[invite37f01ff2]

dsl de pas avoir ouvert le sujet au bonne endroit...

1)pour ta premiere facon de faire je comprends pas et je ne vois pas quel fonction on peut sortir de sa...

2) pour la seconde c est celle que jai essayé mais je m embrouile a chaque fois

3) pour la troisieme facon vais chercher jai pas encore regardé...

merci de ta reponse...

ttk

ps: je craint que personne ne regarde a part toi jai pas eu de reponse et sa m étonnerai q un collégien ou lycéen me viennent en aide

[Médiat]

Où en es-tu ?
J'ai trouvé une solution pour calculer ton nombre de triangles :
0) Ne considérer qu'une seule orientation des triangles (il suffira de multiplier par 4 le moment venu) pour chacune des deux familles ci-dessous
1) Compter le nombre de triangles avec deux côtés parallèles aux côtés des carrés (cette partie est très facile)
2) Compter les triangles avec l'hypoténuse parallèle à l'un des côtés des carrés, en remarquant que ce triangles occupent toujours un nombre entier de carrés sur la ligne parallèle à l'hypoténuse (appelons ce nombre k), et en hauteur ce nombre est de l'ordre de E(k/2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite37f01ff2]

merci ...

pour l histoire de compté juste une orientation et multiplié par 4 c est une super bonne idée...suis confus de ne pas y avoir pensé...

je mi mets de suite et je vous dits ou jen suis



ttk

[Médiat]

Je ne sais pas s'il y a plus simple, mais j'arrive avec une formule directe (sans symbole somme) bien compliquée (en n^3, et avec E(n))

[Médiat]

J'ai pu simplifier un peu la formule, sans la fonction partie entière : c'est un polynome de degré 3 plus un (-1)ⁿ.

[invite37f01ff2]

tu pourrais nous donner la formule et nous expliqué comment ta trouvé?

merci davance et bravo pour ton boulot

[Médiat]

La formule c'est :

Pour les explications détaillées (j'ai applique le principe énoncé avant-hier), il faudra attendre le week-end (pas le temps aujourd'hui).

Par contre si tu peux vérifier, c'est pas plus mal.

PS : c'est la formule avant multiplication par 4 pour les 4 orientations.

[yat]

La formule c'est :

Tu veux certainement dire j'imagine ?

La première différence est à n=3 : tu obtiens 31, j'obtiens 32 : 9 d'hypoténuse 1, 9 d'hypoténuse , 6 d'hypoténuse 2, 4 d'hypoténuse , 3 d'hypoténuse 3 et un d'hypoténuse .

Pour info, ma méthode à moi, qui sera certainement assez décevante parce que j'ai un peu recours à la force brute :

Pour k entier, un triangle d'hypothénuse k occupe un rectangle de cotés k et [(k+1)/2]. On peut donc en mettre (n+1-k)*(n+1-[k/2]) dans un carré de coté n, pour peu que n soit au moins égal à k.

Un triangle d'hypothénuse occupe un carré de coté k. On peut en mettre (n+1-k)² dans un carré de coté n, si n est au moins égal à k.

Jusqu'ici ça reste assez joli. Le problème c'est que partir de ces briques élémentaires pour aboutir à une formule générale dépasse largement mes compétences, à moins d'une astuce que je n'ai pas trouvée. Ne pouvant me battre à la loyale, j'ai donc choisi la voie malhonète : calculer les premières valeurs et essayer d'en déduire une fonction. C'est pour ça que j'attend avec impatience la méthode de Médiat

D'un coup de tableur j'ai obtenu 2, 11, 32, 69, 127, 210 et 323. Comme les polynomes sont mes amis, j'ai utilisé une petite technique simple pour déterminer son degré, si degré il y a : calculer les différences entre les termes successifs, puis réitérer jusqu'à obtenir une constante. Normalement, une fois qu'on trouve la constante, le nombre d'itérations donne le degré du polynome, et la constante divisée par la factorielle donne le facteur de plus haut degré. Après il suffit de le soustraire des valeurs connues et d'itérer pour les degrés suivants.

Le problème c'est que j'ai obtenu en 3ieme itérations les valeurs 4, 5, 4, 5. Je ne savais pas trop comment résoudre ce genre de truc, la réponse n'étant pas un polynome.

Heureusement, Médiat a donné ce matin un indice crucial : qu'il fallait ajouter (-1)ⁿ au polynome. En gros, on a un polynome différent entre les valeurs de rang pair et les valeurs de rang impair. Il suffisait donc de les séparer et de rééssayer, cette fois avec succès, pour obtenir respectivement pour les rangs pairs et pour les rangs impairs.

Bien sur, en multipliant par 4 pour les 4 directions de tous ces triangles, la formule finale est ...

...sauf erreur de ma part, évidemment.

[Médiat]

Tu veux certainement dire j'imagine ?

Non

La première différence est à n=3 : tu obtiens 31, j'obtiens 32 : 9 d'hypoténuse 1, 9 d'hypoténuse , 6 d'hypoténuse 2, 4 d'hypoténuse , 3 d'hypoténuse 3 et un d'hypoténuse .

Je ne trouve que 2 triangles d'hypothénuse 3. Si tu as le temps fais un dessin, car j'ai beau chercher je n'en vois que 2.

C'est pour ça que j'attend avec impatience la méthode de Médiat

C'est à peu de chose près la même sauf qu'en développant tu trouves des sommes de carrés, ou de nombre entiers qui sont "biens connues", et pour la partie tordue ... méthode tordue proche de la tienne

[yat]

Non

Je ne trouve que 2 triangles d'hypothénuse 3. Si tu as le temps fais un dessin, car j'ai beau chercher je n'en vois que 2.

(Mais si... force un peu... le sommet du troisième dépasse à peine du carré )

D'où l'"erreur de ma part" que je prévoyais en fin de post ...tellement conscient de ma totale inaptitude à compter les triangles avec mes yeux, je me suis intégralement fié aux calculs : Pour k entier, un triangle d'hypothénuse k occupe un rectangle de cotés k et [(k+1)/2]. On peut donc en mettre (n+1-k)*(n+1-[k/2]) dans un carré de coté n, pour peu que n soit au moins égal à k.
Voilà, un +1 qui disparait, pas de vérification visuelle, un résultat faux

Au temps pour moi, donc

C'est à peu de chose près la même sauf qu'en développant tu trouves des sommes de carrés, ou de nombre entiers qui sont "biens connues", et pour la partie tordue ... méthode tordue proche de la tienne

Le développement me faisait peur à cause des parties entières... mais si tu as quand même été obligé d'avoir recours à la force pour la suite, je n'ai pas trop de regret alors...

Merci pour ces éclaircissements

[Médiat]

Au temps pour moi, doncLe développement me faisait peur à cause des parties entières... mais si tu as quand même été obligé d'avoir recours à la force pour la suite, je n'ai pas trop de regret alors...

Pour les morceaux avec partie entière j'ai coupé en deux les sommes (les deux demi-sommes se calculent pas trop mal) et c'est pour les additionner que j'ai dû bidouiller.

[invite37f01ff2]

hhoouuuuaaaaa

c est dingue comment un truc qui parait simple est super compliqué ^^

bravo et mreci a tous!

TTK

[invite37f01ff2]

PS : c'est la formule avant multiplication par 4 pour les 4 orientations

donc la formule c est:

( la premiere formule mutiplié par quatre non?

[Médiat]

Disons :

[invite37f01ff2]

c est sa ^^ mais je gere pas le latex ^^

j ai pas trés bien compris se que représenté n ...

et tu fait quoi dans la vie pour trouver des truc comme sa????



ttk

[Médiat]

j ai pas trés bien compris se que représenté n ...

C'est le nombre d'unités qui mesure le côté du carré (ce que tu appelles U dans ton premier post)

et tu fait quoi dans la vie pour trouver des truc comme sa????

De formation je suis carreleur de triangles et depuis quelques années je suis devenu trianguleur de carrés .

[invite37f01ff2]

par contre tu peut mexpliqué comment tu a fait et ce qu est la brute force???

merci davance et bonne journée

ttk