y²+z²=7x²
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y²+z²=7x²



  1. #1
    invite425270e0

    y²+z²=7x²


    ------

    Bonsoir,

    J'ai eu un dm de spé maths à faire pendant les vacances... Bon le début assez gérable, j'ai réussi assez rapidement.
    Cependant la dernière quesiton, je ne vois pas comment m'y prendre.

    Dans l'exercice est l'équation:

    y²+z²=7x²

    On montre que x² congru 3 [7] n'a pas de solution,
    Si 7 divise a²+b² alors 7 divise a et 7 divise b, de plus si (a,b,c) est solution, alors a b et c sont divisibles par 7.

    Je dois en déduire que la seule solution de l'équation est le triplet (0;0;0) :s c'est ici que ça coince... J'ai essayé d'écrire a, b c sous forme de 7k, d'essayer de montrer que b²+c² doit être congru à 3 donc ça n'aura aucune solution.. mais rien ne marche

    Cordialement, Universmaster.

    -----

  2. #2
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    Raisonne [B] par l'absurde: suppose qu'il y a un triplet (a;b;c), d'entiers naturels non tous nuls, qui soit solution de l'équation.
    Comme a, b et c sont divisibles par 7, tu obtiendra en réitérant la divisibilité par 7, une suite d'entiers...variations de cette suite? convergence ?

  3. #3
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    "réitérant la divisibilité par 7" ?

    Avec la suite d'entier, j'vois pas en quoi ça va me permettre de trouverles solutions de l'équation...

    [[ c'est un dm de spé maths term S ]]

    PS: Merci pour l'aide

    Cordialement, Universmaster.

  4. #4
    invite9c9b9968

    Re : y²+z²=7x²

    Bonsoir,

    Connais-tu le principe de descente infinie de Fermat ? Celui-ci stipule qu'une suite d'entiers strictement décroissante est constante à partir d'un certain rang. C'est ce principe que kaiswalayla te suggère d'utiliser, mais je ne suis pas sûr qu'il soit du niveau TS...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite2220c077

    Re : y²+z²=7x²

    Hey, il y'a un problème avec cet exercice ... tu vas devoir à un moment donné utiliser normalement le "principe de la descente infinie" de Fermat qui est, si je ne m'abuse, pas au programme de T°S ...

    EDIT : J'avais pas vu ton msg Gwyddon.

  7. #6
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    Non je ne connais pas..

    Mais bon j'vais aller voir ça sur internet pour apprendre... comme dit notre prof de maths, "on a pas le droit d'en vouloir et de pénaliser les connaissances de quelqu'un." donc si la méthode marche, pourquoi pas

    Merci bien, si d'autres méthodes existent, je suis bien sûr ouvert pour les recevoir ^^.

    Cordialement, Universmaster.

  8. #7
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    Effectivement "le principe de descente infinie de Fermat" n'est pas au programme de TS mais on peut amener l'élève à le comprendre intuitivement ( sinon "une partie de Z non vide minorée admet un plus petit élément" est rencontrée et utilisée plusieurs fois en TS-spé)

    Remarque: pour le moment tu n'as pas besoin d'aller voir la définition de ce principe.
    Revenos à l'exercice:
    On ne te demande pas de trouver les solutions de l'équation mais de prouver que (0;0;0) est la seule (nuance!), c'est à dire qu'il n' y pas une solution non nulle.
    Si (a;b;c) est solutuion non nulle avec a,b,c entiers naturels, l'un au moins des trois est non nul, supposons que ça soit a...
    avec .
    mais est divisibles par ...
    tu recommances...tu obtiens ainsi une suite .
    Quelle est la nature de cette suite ?
    a-t-elle une limite ?
    trouve un contradiction (avec quoi?) pour conclure.

  9. #8
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    a=7*a1
    or a1 divisible par 7 donc a1=7*a2 etc...
    a(n) = 7*n*a..

    Donc on a une suite croissante dont la limite sera +infini... Donc pas de limite réele or a appartient à Z donc si a=/0 S={ensemble vide} ?

    C'est ainsi qu'il faut raisonner? Par contre je suis pas d'accord avec a1 est divisible par 7...

    a=7*a1 donc a divisble par 7 ça on le sait mais comment on sait que a1 est divisible par 7 ?

  10. #9
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    La suite n'est pas croissante !
    Justifie que le triplet est aussi solution.

  11. #10
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    Bon aller j'vais me coucher j'reverai ça demain... En tout cas merci pour l'aide

    à demain et bonne nuit

  12. #11
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    avec .
    mais est divisibles par ...
    tu recommances...tu obtiens ainsi une suite .
    Quelle est la nature de cette suite ?
    a-t-elle une limite ?
    Justement je ne comprends pas pourquoi 7 divise a1... :s

    si a(n)=7*a1 avec a1 divisible par 7 alors a1=7*a2

    Donc a(n)= 7*7*a2... etc

    C'est bien croissante nan?

    Cordialement, Universmaster.

  13. #12
    invite9c9b9968

    Re : y²+z²=7x²

    Relis bien le résultat que tu as démontré : si (a,b,c) solution alors a, b, c sont divisibles par 7...

    Et la suite n'est sûrement pas croissante ! Si a1=7a2, a1>a2 ...

  14. #13
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    donc la suite a(n) converge vers 0

    Sauf que a doit être différent de 0, et appartient à Z, si ça ne marche pas pour 1 et -1 l'équation n'a pas de solution ?

  15. #14
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    Quelqu'un peut-il indiquer si c'est correct cette fois?

    Merci.

  16. #15
    invite03f2c9c5

    Re : y²+z²=7x²

    Pour l'anecdote, cet énoncé est adapté du sujet de bac S de juin 2003, qui avait fait scandale en son temps à cause de sa difficulté. Les candidats étaient censés imaginer tous seuls le principe de descente infinie de Fermat, qui n'est a priori pas vu en terminale, où l'on découvre le raisonnement par récurrence et fait à peine quelques démonstrations par l'absurde…

    Le but de ma remarque n'est pas de relancer le débat sur ce sujet d'examen (ce serait hors-sujet sur ce fil et dégénèrerait vite en troll), mais seulement de rassurer le posteur initial s'il trouve la question difficile.

  17. #16
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    Pour pouvoir avancer il faut absolument lire les conseils des autres et les vérifier. On te dit par exemple de bien observer que la suite (an) n'est pas croissante:


    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Relis bien le résultat que tu as démontré : si (a,b,c) solution alors a, b, c sont divisibles par 7...

    Et la suite n'est sûrement pas croissante ! Si a1=7a2, a1>a2 ...
    et toi tu passes à autre chose:

    Citation Envoyé par Universmaster Voir le message
    donc la suite a(n) converge vers 0

    Sauf que a doit être différent de 0, et appartient à Z, si ça ne marche pas pour 1 et -1 l'équation n'a pas de solution ?
    pour nous parler de la convergence de (an) !!!

    tu vois ce que je veux dire ?

    et puis quand tu dis

    Sauf que a doit être différent de 0
    NON, ce n'est que a doit mais c'est qu' on a supposé que a est différent de 0, Je l'avais déjà dit:

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    Si (a;b;c) est solutuion non nulle avec a,b,c entiers naturels, l'un au moins des trois est non nul, supposons que ça soit a...
    avec .
    mais est divisibles par ...
    tu recommances...tu obtiens ainsi une suite .
    Quelle est la nature de cette suite ?
    a-t-elle une limite ?
    trouve un contradiction (avec quoi?) pour conclure.
    c'est un raisonnement par l'absurde.

  18. #17
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    Citation Envoyé par DSCH Voir le message
    Pour l'anecdote, cet énoncé ...
    Le but de ma remarque n'est pas )

    Bonjour

    t'as raison en partie car en TS on étudie une situation similaire:
    si je ne me trompe pas de raisonnement, dans la démonstration de l'algorithme d'Euclide (au programme): la suite des restes (rn) qui décroit vers 0.
    On le démontre aux élèves d'une façon intuitive (même si on peut le démontrer par l'absurde) sans parler et nommer le principe de descente.

    Je reste d'accord avec toi pour dire que cette question reste difficile (je crois que c'est la seule). On aurait dû je crois guider les élèves en leur tendant la perche de l'absurde.

  19. #18
    invite03f2c9c5

    Re : y²+z²=7x²

    Citation Envoyé par kaiswalayla Voir le message
    Bonjour

    t'as raison en partie car en TS on étudie une situation similaire:
    si je ne me trompe pas de raisonnement, dans la démonstration de l'algorithme d'Euclide (au programme): la suite des restes (rn) qui décroit vers 0.
    On le démontre aux élèves d'une façon intuitive (même si on peut le démontrer par l'absurde) sans parler et nommer le principe de descente.

    Je reste d'accord avec toi pour dire que cette question reste difficile (je crois que c'est la seule). On aurait dû je crois guider les élèves en leur tendant la perche de l'absurde.
    Oui, tu as tout à fait raison pour l'algorithme d'Euclide, et en guidant un chouia plus les élèves, cela aurait dû aller mieux. Il est de toute façon normal que la dernière question d'un exercice soit un peu difficile… En pratique, il me semble que presque aucun candidat n'a su la résoudre le jour de l'examen (sans pouvoir l'affirmer avec certitude, je n'enseignais pas encore en lycée à l'époque ni ne corrigeais le bac), ce qui laisse supposer qu'elle était posée de façon trop brutale.

    Désolé pour le hors-sujet par rapport à la question purement mathématique de départ (si un modérateur trouve que cette digression n'a pas sa place sur le fil, qu'il n'hésite pas à la supprimer).

  20. #19
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    ça reste intéressant.

    Pardon Kaswalayla, en disant que la suite convergeait vers 0, c'était une déduction si elle était décroissante. Mais si elle est décroissante, ça signifie pas que y'a pas de solution?

  21. #20
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    1) Comment as tu démontré que la suite (an) est décroissante ???

    ... et je répète: quelle est la nature de la suite ?

    2)
    je ne comprends pas ton raisonnent
    ... Mais si elle est décroissante, ça signifie pas que y'a pas de solution?
    !!

    pourquoi décroissante impliquerait pas de solution.

    le fait que a(n) soit entier positif est important.

  22. #21
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    (an) est décroissante car a=7*a1 avec a1 divisible par 7 donc a1=7*a2

    On voit que a1<a et que a2<a1 etc.. donc cette suite est décroissante...

  23. #22
    invitee625533c

    Re : y²+z²=7x²

    ton raisonnement est bon, mais c'est mieux de le démontrer par ré currence, plus précisément la propriété suivante:

    Pn: (a[IND]n[IND]; bn; cn) est solution de l'équation [B]y2+z2=7x2
    et an+1=7an.
    pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1;

    en posant pour les termes initiaux.

    tu peux alors démontrer que ...

  24. #23
    invite425270e0

    Re : y²+z²=7x²

    C'est bon je m'en suis sorti ça fait plaisir

    Merci beaucoup, particulièrement kaiswalayla

    Cordialement, Universmaster.