y²+z²=7x²

invite425270e0 · 30/10/2007, 18h35

Bonsoir,

J'ai eu un dm de spé maths à faire pendant les vacances... Bon le début assez gérable, j'ai réussi assez rapidement.
Cependant la dernière quesiton, je ne vois pas comment m'y prendre.

Dans l'exercice est l'équation:

y²+z²=7x²

On montre que x² congru 3 [7] n'a pas de solution,
Si 7 divise a²+b² alors 7 divise a et 7 divise b, de plus si (a,b,c) est solution, alors a b et c sont divisibles par 7.

Je dois en déduire que la seule solution de l'équation est le triplet (0;0;0) :s c'est ici que ça coince... J'ai essayé d'écrire a, b c sous forme de 7k, d'essayer de montrer que b²+c² doit être congru à 3 donc ça n'aura aucune solution.. mais rien ne marche

Cordialement, Universmaster.

invitee625533c · 30/10/2007, 21h22

Raisonne [B] par l'absurde: suppose qu'il y a un triplet (a;b;c), d'entiers naturels non tous nuls, qui soit solution de l'équation.
Comme a, b et c sont divisibles par 7, tu obtiendra en réitérant la divisibilité par 7, une suite d'entiers...variations de cette suite? convergence ?

invite425270e0 · 30/10/2007, 21h36

"réitérant la divisibilité par 7" ?

Avec la suite d'entier, j'vois pas en quoi ça va me permettre de trouverles solutions de l'équation...

[[ c'est un dm de spé maths term S ]]

PS: Merci pour l'aide

Cordialement, Universmaster.

**Gwyddon** · 30/10/2007, 21h43

Bonsoir,

Connais-tu le principe de descente infinie de Fermat ? Celui-ci stipule qu'une suite d'entiers strictement décroissante est constante à partir d'un certain rang. C'est ce principe que kaiswalayla te suggère d'utiliser, mais je ne suis pas sûr qu'il soit du niveau TS...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2220c077 · 30/10/2007, 21h53

Hey, il y'a un problème avec cet exercice ... tu vas devoir à un moment donné utiliser normalement le "principe de la descente infinie" de Fermat qui est, si je ne m'abuse, pas au programme de T°S ...

EDIT : J'avais pas vu ton msg Gwyddon.

invite425270e0 · 30/10/2007, 22h00

Non je ne connais pas..

Mais bon j'vais aller voir ça sur internet pour apprendre... comme dit notre prof de maths, "on a pas le droit d'en vouloir et de pénaliser les connaissances de quelqu'un." donc si la méthode marche, pourquoi pas

Merci bien, si d'autres méthodes existent, je suis bien sûr ouvert pour les recevoir ^^.

Cordialement, Universmaster.

invitee625533c · 30/10/2007, 22h37

Effectivement "le principe de descente infinie de Fermat" n'est pas au programme de TS mais on peut amener l'élève à le comprendre intuitivement ( sinon "une partie de Z non vide minorée admet un plus petit élément" est rencontrée et utilisée plusieurs fois en TS-spé)

Remarque: pour le moment tu n'as pas besoin d'aller voir la définition de ce principe.
Revenos à l'exercice:
On ne te demande pas de trouver les solutions de l'équation mais de prouver que (0;0;0) est la seule (nuance!), c'est à dire qu'il n' y pas une solution non nulle.
Si (a;b;c) est solutuion non nulle avec a,b,c entiers naturels, l'un au moins des trois est non nul, supposons que ça soit a...
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
mais $\text{[math]}$ est divisibles par $\text{[math]}$ ...
tu recommances...tu obtiens ainsi une suite $\text{[math]}$ .
Quelle est la nature de cette suite ?
a-t-elle une limite ?
trouve un contradiction (avec quoi?) pour conclure.

invite425270e0 · 30/10/2007, 22h46

a=7*a1
or a1 divisible par 7 donc a1=7*a2 etc...
a(n) = 7*n*a..

Donc on a une suite croissante dont la limite sera +infini... Donc pas de limite réele or a appartient à Z donc si a=/0 S={ensemble vide} ?

C'est ainsi qu'il faut raisonner? Par contre je suis pas d'accord avec a1 est divisible par 7...

a=7*a1 donc a divisble par 7 ça on le sait mais comment on sait que a1 est divisible par 7 ?

invitee625533c · 30/10/2007, 23h14

La suite $\text{[math]}$ n'est pas croissante !
Justifie que le triplet $\text{[math]}$ est aussi solution.

invite425270e0 · 30/10/2007, 23h21

Bon aller j'vais me coucher j'reverai ça demain... En tout cas merci pour l'aide

à demain et bonne nuit

invite425270e0 · 02/11/2007, 14h49

Envoyé par kaiswalayla

$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
mais $\text{[math]}$ est divisibles par $\text{[math]}$ ...
tu recommances...tu obtiens ainsi une suite $\text{[math]}$ .
Quelle est la nature de cette suite ?
a-t-elle une limite ?

Justement je ne comprends pas pourquoi 7 divise a1... :s

si a(n)=7*a1 avec a1 divisible par 7 alors a1=7*a2

Donc a(n)= 7*7*a2... etc

C'est bien croissante nan?

Cordialement, Universmaster.

**Gwyddon** · 02/11/2007, 14h54

Relis bien le résultat que tu as démontré : si (a,b,c) solution alors a, b, c sont divisibles par 7...

Et la suite n'est sûrement pas croissante ! Si a1=7a2, a1>a2 ...

invite425270e0 · 02/11/2007, 15h01

donc la suite a(n) converge vers 0

Sauf que a doit être différent de 0, et appartient à Z, si ça ne marche pas pour 1 et -1 l'équation n'a pas de solution ?

invite425270e0 · 05/11/2007, 20h44

Quelqu'un peut-il indiquer si c'est correct cette fois?

Merci.

**DSCH** · 05/11/2007, 21h11

Pour l'anecdote, cet énoncé est adapté du sujet de bac S de juin 2003, qui avait fait scandale en son temps à cause de sa difficulté. Les candidats étaient censés imaginer tous seuls le principe de descente infinie de Fermat, qui n'est a priori pas vu en terminale, où l'on découvre le raisonnement par récurrence et fait à peine quelques démonstrations par l'absurde…

Le but de ma remarque n'est pas de relancer le débat sur ce sujet d'examen (ce serait hors-sujet sur ce fil et dégénèrerait vite en troll), mais seulement de rassurer le posteur initial s'il trouve la question difficile.

invitee625533c · 05/11/2007, 21h14

Pour pouvoir avancer il faut absolument lire les conseils des autres et les vérifier. On te dit par exemple de bien observer que la suite (a_n) n'est pas croissante:

Envoyé par Gwyddon

Relis bien le résultat que tu as démontré : si (a,b,c) solution alors a, b, c sont divisibles par 7...

Et la suite n'est sûrement pas croissante ! Si a1=7a2, a1>a2 ...

et toi tu passes à autre chose:

Envoyé par Universmaster

donc la suite a(n) converge vers 0

Sauf que a doit être différent de 0, et appartient à Z, si ça ne marche pas pour 1 et -1 l'équation n'a pas de solution ?

pour nous parler de la convergence de (a_n) !!!

tu vois ce que je veux dire ?

et puis quand tu dis

Sauf que a doit être différent de 0

NON, ce n'est que a doit mais c'est qu' on a supposé que a est différent de 0, Je l'avais déjà dit:

Envoyé par kaiswalayla

Si (a;b;c) est solutuion non nulle avec a,b,c entiers naturels, l'un au moins des trois est non nul, supposons que ça soit a...
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
mais $\text{[math]}$ est divisibles par $\text{[math]}$ ...
tu recommances...tu obtiens ainsi une suite $\text{[math]}$ .
Quelle est la nature de cette suite ?
a-t-elle une limite ?
trouve un contradiction (avec quoi?) pour conclure.

c'est un raisonnement par l'absurde.

invitee625533c · 05/11/2007, 21h27

Envoyé par DSCH

Pour l'anecdote, cet énoncé ...
Le but de ma remarque n'est pas )

Bonjour

t'as raison en partie car en TS on étudie une situation similaire:
si je ne me trompe pas de raisonnement, dans la démonstration de l'algorithme d'Euclide (au programme): la suite des restes (r_n) qui décroit vers 0.
On le démontre aux élèves d'une façon intuitive (même si on peut le démontrer par l'absurde) sans parler et nommer le principe de descente.

Je reste d'accord avec toi pour dire que cette question reste difficile (je crois que c'est la seule). On aurait dû je crois guider les élèves en leur tendant la perche de l'absurde.

**DSCH** · 05/11/2007, 21h34

Envoyé par kaiswalayla

Bonjour

t'as raison en partie car en TS on étudie une situation similaire:
si je ne me trompe pas de raisonnement, dans la démonstration de l'algorithme d'Euclide (au programme): la suite des restes (r_n) qui décroit vers 0.
On le démontre aux élèves d'une façon intuitive (même si on peut le démontrer par l'absurde) sans parler et nommer le principe de descente.

Je reste d'accord avec toi pour dire que cette question reste difficile (je crois que c'est la seule). On aurait dû je crois guider les élèves en leur tendant la perche de l'absurde.

Oui, tu as tout à fait raison pour l'algorithme d'Euclide, et en guidant un chouia plus les élèves, cela aurait dû aller mieux. Il est de toute façon normal que la dernière question d'un exercice soit un peu difficile… En pratique, il me semble que presque aucun candidat n'a su la résoudre le jour de l'examen (sans pouvoir l'affirmer avec certitude, je n'enseignais pas encore en lycée à l'époque ni ne corrigeais le bac), ce qui laisse supposer qu'elle était posée de façon trop brutale.

Désolé pour le hors-sujet par rapport à la question purement mathématique de départ (si un modérateur trouve que cette digression n'a pas sa place sur le fil, qu'il n'hésite pas à la supprimer).

invite425270e0 · 05/11/2007, 21h47

ça reste intéressant.

Pardon Kaswalayla, en disant que la suite convergeait vers 0, c'était une déduction si elle était décroissante. Mais si elle est décroissante, ça signifie pas que y'a pas de solution?

invitee625533c · 05/11/2007, 22h16

1) Comment as tu démontré que la suite (a_n) est décroissante ???

... et je répète: quelle est la nature de la suite ?

2)
je ne comprends pas ton raisonnent

... Mais si elle est décroissante, ça signifie pas que y'a pas de solution?

!!

pourquoi décroissante impliquerait pas de solution.

le fait que a(n) soit entier positif est important.

invite425270e0 · 05/11/2007, 22h22

(a_n) est décroissante car a=7*a1 avec a1 divisible par 7 donc a1=7*a2

On voit que a1<a et que a2<a1 etc.. donc cette suite est décroissante...

invitee625533c · 06/11/2007, 00h11

ton raisonnement est bon, mais c'est mieux de le démontrer par ré currence, plus précisément la propriété suivante:

P_n: (a[IND]n[IND]; b_n; c_n) est solution de l'équation [B]y²+z²=7x²
et a_n+1=7a_n.
pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1;

en posant $\text{[math]}$ pour les termes initiaux.

tu peux alors démontrer que $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ...

invite425270e0 · 06/11/2007, 11h58

C'est bon je m'en suis sorti

ça fait plaisir

Merci beaucoup, particulièrement kaiswalayla

Cordialement, Universmaster.

y²+z²=7x²

y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²

Re : y²+z²=7x²