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Propriété sympathique des polynômes



  1. #1
    -Zweig-

    Propriété sympathique des polynômes


    ------

    Salut,

    Voilà je suis tombé par hasard sur une propriété assez sympathique (qui peut servir par exemple pour savoir si une équation donnée admet une racine évidente ou pas en vu de la factoriser etc ...) qui est la suivante :

    Soit un polynôme de degré à coefficients entiers. Si la somme des coefficients de ce polynôme est impaire et si le coefficient constant,, est lui aussi impair, alors le polynôme n'admet aucune racine entière.

    Si ça vous tente de démontrer cette propriété . Parcontre si vous trouvez une démonstration, merci de la mettre entre les balises SPOIL, car je cherche toujours

    -----

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  3. #2
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

     Cliquez pour afficher

  4. #3
    Universmaster

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Euhhhhh

    J'fini une partie de mon commentaire de philo et j'm'y met

    Y'a déjà deux cas: degré impair et degré pair...

    (J'me dépêche pour mon commmmentaiiire )

  5. #4
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    J ai fini la preuve.

  6. #5
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Antho07 :
     Cliquez pour afficher


    J'pense avoir trouvé, je posterais ma solution dans la soirée.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

     Cliquez pour afficher

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  10. #7
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    C'est la même idée que moi, sauf que moi je me suis servis du théorème des racines rationnelles pour "annuler" le cas où m est pair

  11. #8
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Jai zapper le fait que le produit des racines etait égale au terme constant à une coeff dominant pres
    donc jai traité le cas.

  12. #9
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Les relations de Viète ne t'auraient pas permis de conclure car si (en prenant la relation de Viète que tu as citée) (avec les les racines de P) est rationnel, on peut toujours avoir un des entier et "les autres" rationnels.
    Dernière modification par -Zweig- ; 31/10/2007 à 22h49.

  13. #10
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Un résultat plus complexe mais nécéssitant plus de connaissance:

    SOit un polynome à coéfficiants entiers et un nombre premier vérifiant:

    -L'entier p divise tous les , pour k entre 0 et n-1 et p ne divise pas
    -L'entier ne divise pas .

    ALors le polynome P(X) est irréductible dans

  14. #11
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo

    Pour ceux qui voudraient le démontrer, il faut d'abord montrer que P est irréductible dans Z[X] puis se servir par la suite du théorème suivant : "Si un polynôme P de Z[X] est irréductible dans Z[X], il est irréductible dans Q[X]" pour conclure (théorème à démontrer aussi )
    Dernière modification par -Zweig- ; 31/10/2007 à 22h56.

  15. #12
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Les relations de Viète ne t'auraient pas permis de conclure car si (en prenant la relation de Viète que tu as citée) (avec les les racines de P) est rationnel, on peut toujours avoir un des entier et "les autres" rationnels.
    exact autant pour moi.

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  17. #13
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo
    juste pour info t en quelle classe??

  18. #14
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    En 1ère S.

    EDIT : Mince, j'ai oublié de spoiler la fin de mon message #11, si un modo pouvait bien le faire

  19. #15
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Ta des connaissances surprenantes pour ton niveau, tu dois te balader voire meme un peu t ennuyer en cours non(de maths)??

    Sinon ta deja regarder un peu d algebre lineaire??

  20. #16
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    J'aime bien bouquiner on va dire.

    Ouep, j'ai commencé à regarder l'Algèbre Linéaire (pour mes connaissances perso), car je fais un TPE sur la Quatrième Dimension (faudra que je me serve un peu des quaternions etc ...). Mais je préfère ne pas trop m'avancer sur la prépa, ça ne rime à rien, y'a plus aucune "fierté" après si on réussit (encore faut-il les réussir !) des concours genre ENS/X car on se sera entrainé plus d'années par rapport aux autres camarades.

  21. #17
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo

    Pour ceux qui voudraient le démontrer, il faut d'abord montrer que P est irréductible dans Z[X] puis se servir par la suite du théorème suivant : "Si un polynôme P de Z[X] est irréductible dans Z[X], il est irréductible dans Q[X]" pour conclure (théorème à démontrer aussi )


    On peut aussi se plonger dans les anneaux de congruences cette démo est lontaine faudrait que je la refasse un de ses 4

  22. #18
    Antho07

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    J'aime bien bouquiner on va dire.

    Ouep, j'ai commencé à regarder l'Algèbre Linéaire (pour mes connaissances perso), car je fais un TPE sur la Quatrième Dimension (faudra que je me serve un peu des quaternions etc ...). Mais je préfère ne pas trop m'avancer sur la prépa, ça ne rime à rien, y'a plus aucune "fierté" après si on réussit (encore faut-il les réussir !) des concours genre ENS/X car on se sera entrainé plus d'années par rapport aux autres camarades.
    Si des trucs t intéresse regardes les un peu.En prépa t aura pas trop le temps de regarder d'autres trucs.
    COmme tu veux.

    Je di cela parce que l'algebre est tres passionant(enfin je trouve).Comme tu as l'air d'adorer les polynomes tu seras servi leur application est tres grandes en algebre

    Tu peux te plonger aussi dans l anneau des polynomes enfin bref.


    Sinon un autre résultat très délicat à montrer, c'est le théorème de d'almbert gauss qui dit que tout polynome de C[X] est scindé.

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  24. #19
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    J'aime bien l'Algèbre en effet Mais je préfère de loin l'Arithmétique

  25. #20
    Ledescat

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    J'aime bien l'Algèbre en effet Mais je préfère de loin l'Arithmétique
    Cela dit, l'arithmétique découle directement de l'algèbre.
    Sinon pour le théorème de d'Alembert-Gauss, c'est quand même du très haut niveau.
    Cogito ergo sum.

  26. #21
    -Zweig-

    Re : Propriété sympathique des polynômes

    C'était pas ce théorème d'ailleurs qui avait été démontré pour la 1ère fois par Gauss lorsqu'il n'avait que 19ans ?

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