Propriété sympathique des polynômes

[invite2220c077]

Salut,

Voilà je suis tombé par hasard sur une propriété assez sympathique (qui peut servir par exemple pour savoir si une équation donnée admet une racine évidente ou pas en vu de la factoriser etc ...) qui est la suivante :

Soit un polynôme de degré à coefficients entiers. Si la somme des coefficients de ce polynôme est impaire et si le coefficient constant,, est lui aussi impair, alors le polynôme n'admet aucune racine entière.

Si ça vous tente de démontrer cette propriété . Parcontre si vous trouvez une démonstration, merci de la mettre entre les balises SPOIL, car je cherche toujours
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[invite7ffe9b6a]

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j ai deja montrer que si il y avait une racine entiere alors elle ne pouvait pas etre paire

[invite425270e0]

Euhhhhh

J'fini une partie de mon commentaire de philo et j'm'y met

Y'a déjà deux cas: degré impair et degré pair...

(J'me dépêche pour mon commmmentaiiire )

[invite7ffe9b6a]

J ai fini la preuve.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2220c077]

Antho07 :

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Normal, cela découle du théorème des racines rationnelles : Si un polynôme à coefficients entiers admet une racine entière, alors cette racine divise le terme constant Et ici justement notre coeff constant est impair, donc forcément, si racine entière il y'a, elle est forcément impaire.

J'pense avoir trouvé, je posterais ma solution dans la soirée.

[invite7ffe9b6a]

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SOit P(X) un polynome de degré n, alors



On suppose alors qu'il existe une racine m entiere.
ALors on distingue deux cas:
SOit m est paire,

dans ce cas



est paire.

Or P(m)=0

Donc:



or, est impaire impossible.

Donc m ne peut pas etre paire.

On suppose donc m impaire

Donc pour tous i dans {1,...,n},

est de la parité de a_{i}

Or comme la somme des ak est impaire et que ao est impaire alors somme des ak-a0 est paire.

Autrement dit est paire

Or p(X)=0



impossible par imparité de a0.

Donc m ne peut etre ni etre un entier impaire, ni etre un entier paire.

ABsurde donc m n'est pas entier

[invite2220c077]

C'est la même idée que moi, sauf que moi je me suis servis du théorème des racines rationnelles pour "annuler" le cas où m est pair

[invite7ffe9b6a]

Jai zapper le fait que le produit des racines etait égale au terme constant à une coeff dominant pres
donc jai traité le cas.

[invite2220c077]

Les relations de Viète ne t'auraient pas permis de conclure car si (en prenant la relation de Viète que tu as citée) (avec les les racines de P) est rationnel, on peut toujours avoir un des entier et "les autres" rationnels.

[invite7ffe9b6a]

Un résultat plus complexe mais nécéssitant plus de connaissance:

SOit un polynome à coéfficiants entiers et un nombre premier vérifiant:

-L'entier p divise tous les , pour k entre 0 et n-1 et p ne divise pas
-L'entier ne divise pas .

ALors le polynome P(X) est irréductible dans

[invite2220c077]

Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo

Pour ceux qui voudraient le démontrer, il faut d'abord montrer que P est irréductible dans Z[X] puis se servir par la suite du théorème suivant : "Si un polynôme P de Z[X] est irréductible dans Z[X], il est irréductible dans Q[X]" pour conclure (théorème à démontrer aussi )

[invite7ffe9b6a]

Les relations de Viète ne t'auraient pas permis de conclure car si (en prenant la relation de Viète que tu as citée) (avec les les racines de P) est rationnel, on peut toujours avoir un des entier et "les autres" rationnels.

exact autant pour moi.

[invite7ffe9b6a]

Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo

juste pour info t en quelle classe??

[invite2220c077]

En 1ère S.

EDIT : Mince, j'ai oublié de spoiler la fin de mon message #11, si un modo pouvait bien le faire

[invite7ffe9b6a]

Ta des connaissances surprenantes pour ton niveau, tu dois te balader voire meme un peu t ennuyer en cours non(de maths)??

Sinon ta deja regarder un peu d algebre lineaire??

[invite2220c077]

J'aime bien bouquiner on va dire.

Ouep, j'ai commencé à regarder l'Algèbre Linéaire (pour mes connaissances perso), car je fais un TPE sur la Quatrième Dimension (faudra que je me serve un peu des quaternions etc ...). Mais je préfère ne pas trop m'avancer sur la prépa, ça ne rime à rien, y'a plus aucune "fierté" après si on réussit (encore faut-il les réussir !) des concours genre ENS/X car on se sera entrainé plus d'années par rapport aux autres camarades.

[invite7ffe9b6a]

Critère d'Eisenstein , mais je connais déjà la démo

Pour ceux qui voudraient le démontrer, il faut d'abord montrer que P est irréductible dans Z[X] puis se servir par la suite du théorème suivant : "Si un polynôme P de Z[X] est irréductible dans Z[X], il est irréductible dans Q[X]" pour conclure (théorème à démontrer aussi )

On peut aussi se plonger dans les anneaux de congruences cette démo est lontaine faudrait que je la refasse un de ses 4

[invite7ffe9b6a]

J'aime bien bouquiner on va dire.

Ouep, j'ai commencé à regarder l'Algèbre Linéaire (pour mes connaissances perso), car je fais un TPE sur la Quatrième Dimension (faudra que je me serve un peu des quaternions etc ...). Mais je préfère ne pas trop m'avancer sur la prépa, ça ne rime à rien, y'a plus aucune "fierté" après si on réussit (encore faut-il les réussir !) des concours genre ENS/X car on se sera entrainé plus d'années par rapport aux autres camarades.

Si des trucs t intéresse regardes les un peu.En prépa t aura pas trop le temps de regarder d'autres trucs.
COmme tu veux.

Je di cela parce que l'algebre est tres passionant(enfin je trouve).Comme tu as l'air d'adorer les polynomes tu seras servi leur application est tres grandes en algebre

Tu peux te plonger aussi dans l anneau des polynomes enfin bref.


Sinon un autre résultat très délicat à montrer, c'est le théorème de d'almbert gauss qui dit que tout polynome de C[X] est scindé.

[invite2220c077]

J'aime bien l'Algèbre en effet Mais je préfère de loin l'Arithmétique

[invitec053041c]

J'aime bien l'Algèbre en effet Mais je préfère de loin l'Arithmétique

Cela dit, l'arithmétique découle directement de l'algèbre.
Sinon pour le théorème de d'Alembert-Gauss, c'est quand même du très haut niveau.

[invite2220c077]

C'était pas ce théorème d'ailleurs qui avait été démontré pour la 1ère fois par Gauss lorsqu'il n'avait que 19ans ?