Une propriété des polynômes de Lagrange

[Scorp]

Bonjour à tous. Ca faisais longtemps que je n'avais pas posté, donc voici une p'tit question à propos des polynômes de Lagrange :
Soient les polynômes de Lagrange interpolateurs en les points 0,1,...,n. Il semblerait que l'une des propriétés des ces polynômes est que les polynômes prennent des valeurs entières sur Z (donc que ). Je voudrais savoir en quoi cette propriété peut être utile ainsi que comment on peux la démontrer.
Merci d'avance.
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[inviteae1ed006]

Es-tu sur de ce que tu affirmes ?

[Romain-des-Bois]

J'ai moi aussi un gros doute sur ton affirmation...


Romain

[Coincoin]

Salut,
Ils interpolent quoi tes polynômes ?
Un polynôme interpolateur est associé à une fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Romain-des-Bois]

Il veut peut être dire que ça marche en interpolant n'importe quelle fonction... Si c'est le cas... j'y crois pas...


Romain

[Coincoin]

Avec n'importe quelle fonction, c'est clairement faux. Si ma fonction est irrationnelle en 0 par exemple, alors le polynôme qui l'interpole en 0 doit prendre la même valeur donc n'est pas entier !

Donc c'est faux en général, et à voir au cas par cas selon la fonction.

[Scorp]

Salut,
Ils interpolent quoi tes polynômes ?
Un polynôme interpolateur est associé à une fonction.

Ha bon, pour moi ce n'est pas le cas. Les polynomes de Lagrange pour moi sont définis de la façon suivante : soient , alors on peut écrire le polynôme de la façon suivante : , polynôme valant 1 en et 0 en . L'interpolation d'une fonction ne se fait qu'après en choisissant des ce qui donne un polynome
Dans mon cas, je ne m'interresse qu'au polynôme de Lagrange avec , k de 0 à n, c'est à dire aux polynomes . Ma question est donc de savoir si ces polynômes prennent bien des valeurs entières sur des entiers (je suis presque sûr de ce que j'avance : j'ai essayé avec Maple pour voir si ca marchait avec quelques valeurs particulières et j'ai également vu sur cette propriété sur l'un des sous-site de l'ens ULM). Mais bon, vu que je n'arrive pas la démontré, je ne peux pas être certain de ce que j'avance.

[invite5fb20d44]

Théorème : le produit de entiers consécutifs est divisible par .

(si je ne dis pas de bêtises)

Ca règle le cas de . Une démarche similaire permet de de traiter les autres polynômes.

[invite4ef352d8]

j'ai deja fait sa en colle en sup

sa m'avait servit a trouver l'ensemble des polynome telle que P(Z) est inclu dans Z...

regarde bien l'expression de tes polynome... et tu va voir qu'au signe pres il resemble enormement aux coeficient binomiaux.

[Scorp]

J'y suis presque arrivé en utilisant les coefficients du binôme: On veut montrer que pour . J'ai distingué plusieurs cas :
- pour c'est évident (avec n le degré de mon polynôme : cf mon post précédent)
- pour , k>n, je trouve donc c'est un entier. Mais je ne suis pas très sûr de mes calculs.
- pour n entier négatif, je n'ai pas encore réussit à conclure.

[invite03d522e7]

je m excuse j ai plus tôt une question a poser.je ne comprends pas la formule de newton cotes en analyse numérique