bonjour voila un exercice assez je vous l'accorde j'ai quelques éléments de réponses j'aimerai savoir si c'est correct
ENONCE
Soit ABC et A'B'C' deux triangles tels que
-A différent de A'.B différent de B'.C différent de C'
-les droites (AA') (BB') et (CC') sont concourantes en I
On suppose que
-les droites (BC) et (B'C') se coupent en P
-les droites (AC) et (A'C') se coupent en Q
-les droites (AB) et (A'B') se coupent en R
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème de DESARGUES qui exprime que les point P,Q et R sont alignés
1.Montrer qu'il existe des réels a,a',b,b',c,c' tels que I soit à la fois barycentre de (A;a),(A';a') de (B;b),(B';b') et de (C;c),(C';c') avec a+a'=1 , b+b'=1 et c+c'=1
2.a) Montrer que si b=c alors b'=c'
b)Montrer que supposer b=c conduit à une absurdité
c)Montrer de même qu'il est impossible d'avoir a=b ou a=c
3.Montrer que:bIB-cIC=c'IC'-b'IB'(IB,IC,IC' et IB' sont des vecteurs)
4.On note G le barycentre de (B;b),(C;c) et H le barycentre de (B';-b'),(C;-c').
a)Montrer que G=H
b)En deduire que:bIB-cIC=(b-c)IP(ce sont aussi des vecteurs)
c)Ecrire deux autres égalités faisant intervenir IQ et IR(ce sont des vecteurs)
d)En déduire l'égalitéb-c)IP+(c-a)IQ+(a-b)IR=0 (vecteurs)
EN DEDUIRE QUE LES POINTS P Q R SONT ALIGNES
REPONSES
1)Puisque I, A et A' sont alignés, il existe a1 et a2,
tel que I soit bary de (A , a1) (A', a2)
Or I bary de (A , a1) (A', a2) avec a1+a2 dif de 0
<=> I bary de (A , a1/(a1 + a2) (A', a2/(a1 + a2))
<=> I bary de (A , a) (A', a') avec a = a1/(a1 + a2) et a' = a2/(a1 + a2)
d'où il vient qu'il existe bien des coefficients a et a'
tel que a + a' = a1/(a1 + a2) + a2/(a1 + a2) = 1
Raisonnement similaire pour I, B, B' et pour I, C, C
2) a. Si b=c alors b'=1-b et c'=1-b=b'
b. Donc, si b=c on aurait bIB +b'IB'=0 et bIC +b'IC'=0 et par différence bCB +b'C'B'=0 ce qui est absurde car CB et CB' ne sont pas colinéaires.
c. Donc logiquement a dif de b dif de c
3)bIB +b'IB'=0 et bIC +b'IC'=0 donne bIB-cIC=c'IC'-b'IB'
4) a. bGB-CGC=0 et peuvent s'écrire :
et
compte tenu de ce qui précède, on a :
soit
donc et ce point se trouve à la fois dur et sur : c'est le point
b. on a donc :
c. et de même :
d. et par addition :
La relation avec montre que sont alignés.
merci aux personnes qui auront la gentillesse de m'aider!!!
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