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desargues



  1. #1
    thewoman18

    desargues

    bonjour voila un exercice assez je vous l'accorde j'ai quelques éléments de réponses j'aimerai savoir si c'est correct

    ENONCE
    Soit ABC et A'B'C' deux triangles tels que
    -A différent de A'.B différent de B'.C différent de C'
    -les droites (AA') (BB') et (CC') sont concourantes en I
    On suppose que
    -les droites (BC) et (B'C') se coupent en P
    -les droites (AC) et (A'C') se coupent en Q
    -les droites (AB) et (A'B') se coupent en R

    Le but de l'exercice est de démontrer le théorème de DESARGUES qui exprime que les point P,Q et R sont alignés

    1.Montrer qu'il existe des réels a,a',b,b',c,c' tels que I soit à la fois barycentre de (A;a),(A';a') de (B;b),(B';b') et de (C;c),(C';c') avec a+a'=1 , b+b'=1 et c+c'=1

    2.a) Montrer que si b=c alors b'=c'
    b)Montrer que supposer b=c conduit à une absurdité
    c)Montrer de même qu'il est impossible d'avoir a=b ou a=c

    3.Montrer que:bIB-cIC=c'IC'-b'IB'(IB,IC,IC' et IB' sont des vecteurs)
    4.On note G le barycentre de (B;b),(C;c) et H le barycentre de (B';-b'),(C;-c').
    a)Montrer que G=H
    b)En deduire que:bIB-cIC=(b-c)IP(ce sont aussi des vecteurs)
    c)Ecrire deux autres égalités faisant intervenir IQ et IR(ce sont des vecteurs)
    d)En déduire l'égalitéb-c)IP+(c-a)IQ+(a-b)IR=0 (vecteurs)
    EN DEDUIRE QUE LES POINTS P Q R SONT ALIGNES

    REPONSES

    1)Puisque I, A et A' sont alignés, il existe a1 et a2,
    tel que I soit bary de (A , a1) (A', a2)

    Or I bary de (A , a1) (A', a2) avec a1+a2 dif de 0
    <=> I bary de (A , a1/(a1 + a2) (A', a2/(a1 + a2))
    <=> I bary de (A , a) (A', a') avec a = a1/(a1 + a2) et a' = a2/(a1 + a2)

    d'où il vient qu'il existe bien des coefficients a et a'
    tel que a + a' = a1/(a1 + a2) + a2/(a1 + a2) = 1

    Raisonnement similaire pour I, B, B' et pour I, C, C

    2) a. Si b=c alors b'=1-b et c'=1-b=b'

    b. Donc, si b=c on aurait bIB +b'IB'=0 et bIC +b'IC'=0 et par différence bCB +b'C'B'=0 ce qui est absurde car CB et CB' ne sont pas colinéaires.

    c. Donc logiquement a dif de b dif de c


    3)bIB +b'IB'=0 et bIC +b'IC'=0 donne bIB-cIC=c'IC'-b'IB'
    4) a. bGB-CGC=0 et peuvent s'écrire :
    et
    compte tenu de ce qui précède, on a :
    soit
    donc et ce point se trouve à la fois dur et sur : c'est le point
    b. on a donc :

    c. et de même :


    d. et par addition :
    La relation avec montre que sont alignés.




    merci aux personnes qui auront la gentillesse de m'aider!!!

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    thewoman18

    Re : desargues

    excusez moi il ya eu un problème avec les formules a cause des vecteurs

    4) a. bGB-cGC=0 et -b'HB' +c'HC'=0 peuvent s'écrire : b(GI +IB)-c(GI+IC)=0
    et -b'(HI+IB')+c'(HI+IC')=0
    Ainsi, on a : (b-c)IG=bIB-cIC=-b'IB'+c'IC'=(-b'+c')IH
    ==>IG=(c'-b')/(b-c)IH=(c'-b')/(1-b'-1+c')IH=IH
    donc G=H
    ce point se trouve à la fois sur BC et sur B'C' : c'est le point P
    b. on a alors:
    bIB-CIC=(b-c)IP

    c. et de même :

    cIC-aIA=(c-a)IQ
    aIA-bIB=(a-b)IR


    d. et par addition : (b-c)IP+(c-a)IQ+(a-b)IR=O

    AINSI ON A alphaIP+betaIQ+gammaIR=0 AVEC alpha+beta+gamma dif de 0 ALORS LES POINTS R Q ET P SONT ALIGNES

  4. #3
    thewoman18

    Re : desargues

    voila si pouviez me corriger ce serait gentils merci d'avance

  5. #4
    thewoman18

    Re : desargues

    s'il vous plait j'aurai besoin de savoir si mes résultats sont bons!!!!

  6. #5
    thewoman18

    Re : desargues

    alors personne n'aime desargues

  7. A voir en vidéo sur Futura

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