dérivée

[invitec2fe76a4]

Salut à tous,

voilà l'énoncé d'un exercice qui change un peu je voudrais le résoudre mais sans votre aide je crois que je ne vais pas y arriver

Soit la fonction f définie par:f(x)=a+(bx)/(x²+1)+(c)/(x²+1)

Déterminer les réels a,b,c sachant que la tangente en A(1;5/2) passe par le point B(3;11/2) et que la tangente au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses

voila ce que j'ai fais:

-y=f'(1)(x-1)+5/2
car Cf passe par A ! donc ya = f(xa)

-je calcule la dérivée de f : f'(x)=b(x²+1)-2bx²/'x² -2x/(x²+1)²
j'ai donc f'(1)=-c/2
===> l'équation de la tangente est donc y = -c/2 (x-1) + 5/2

-elle doit passer par B(3;11/2)
==> -c/2(3-1)+5/2=11/2
c=-3
y=3/2x+1

-il faut que je trouve ensuite les valeurs de a et de b donc
*A appartient à Cf donc ya= f(xa)
==>f(1)=5/2
a+b/2=4
*c'est ici que je bloque avec le point C je sais que C(2;f(2)) puis je ne sais pas trop comment faire voila si vous pouviez m'aider

merci d'avance
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[invite0d212215]

-je calcule la dérivée de f : f'(x)=b(x²+1)-2bx²/'x² -2x/(x²+1)²

Ce résultat ne me parait pas très correct, en es-tu sûre ?

[invitec2fe76a4]

f'(x)=b(x²+1)-2bx²/4x² -2x/(x²+1)² NAVREE

[invite0d212215]

Ca ne me parait pas correct non plus, essaye de faire partie par partie, tu verras que tu oublies pas mal de choses

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec2fe76a4]

ah bon pourtant là bonne équation

[invite0d212215]

Regarde, je vais détailler quelques étapes :

On a f(x) = a + [(b*x) / (x² + 1)] + [c / (x² + 1)] qui s'écrit aussi
f(x) = a + [(b*x + c) / (x² + 1)], tu es d'accord la ?

On pose g(x) = (b*x + c) / (x² + 1)

La dérivée de (b*x + c) est bien égale à b.

La dérivée de x²+1 est bien égale à 2x, donc la dérivée de son inverse est [-2x / (x² + 1)²]

Par suite, la dérivée g'(x) = (b - b*x² - 2*c*x) / (x² + 1)² qui sera aussi la dérivée de f car la dérivée de a est égale à 0 (une constante)

J'ai sauté les étapes de simplification etc..; mais j'espère que c'est assez clair

[invite0d212215]

En fait, ce que j'ai utilisé, c'est les opérations sur les dérivées après avoir décomposer f puis g en fonctions usuelles : f₁=a, f₂=b*x + c, f₃=x²+1 et f₄ = f₂/f₃

J'ai donc f'₁ = 0 (fonction constante)
f'₂ = b (fonction polynôme)
f'₃ = 2*x (fonction polynôme)

Or, f₄ = f₂/f₃ donc
f'₄ = [f'₂*f₃ - f₂*f'₃] / (f₃)²

Et on a f = f₁ + f₄ donc f' = f'₁ + f'₄

Et voilà, tu trouve le bon dérivé

[invitec2fe76a4]

d'accord mais alors comment trouver a b et c avec ta méthode

[invite0d212215]

Ce n'est pas "ma mèthode", c'est juste une bonne mèthode pour faire ...

Sinon, pour trouver a, b et c, il suffit d'utiliser les tangentes qu'on t'a donnés : tu sais bien qu'une tangente à la coubre d'une fonction f au point d'abcisse "z" a pour coefficient directeur f'(a).

Or, on a une première tangente passant par A(1,5/2) donc son coefficient directeur est f'(1). D'un autre coté, tu as B(3,11/2) appartient à cette même tangente donc tu peux savoir connaitre la valeur exacte de ton coefficient directeur et tu obtiens donc une première équation qui te donnera c !

Tu fais le même travail pour la deuxième tangente : elle est parallèle à l'axe des abcisses donc son coefficient directeur est nul. Or, cette tangente l'est au point d'abcisse 2 donc f'(2) = 0 . Cette équation te donnera b !

Pour trouver a, c'est le plus simple : tu as A appartient à la courbe de f, fais marcher ton imagination...

Je crois que je suis trop bon ce soir, je t'ai pratiquement donné la réponse ...

[invitec2fe76a4]

ouais si tu veux merci des tes efforts