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dérivée



  1. #1
    thewoman18

    dérivée

    Salut à tous,

    voilà l'énoncé d'un exercice qui change un peu je voudrais le résoudre mais sans votre aide je crois que je ne vais pas y arriver

    Soit la fonction f définie par:f(x)=a+(bx)/(x²+1)+(c)/(x²+1)

    Déterminer les réels a,b,c sachant que la tangente en A(1;5/2) passe par le point B(3;11/2) et que la tangente au point d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses

    voila ce que j'ai fais:

    -y=f'(1)(x-1)+5/2
    car Cf passe par A ! donc ya = f(xa)

    -je calcule la dérivée de f : f'(x)=b(x²+1)-2bx²/'x² -2x/(x²+1)²
    j'ai donc f'(1)=-c/2
    ===> l'équation de la tangente est donc y = -c/2 (x-1) + 5/2

    -elle doit passer par B(3;11/2)
    ==> -c/2(3-1)+5/2=11/2
    c=-3
    y=3/2x+1

    -il faut que je trouve ensuite les valeurs de a et de b donc
    *A appartient à Cf donc ya= f(xa)
    ==>f(1)=5/2
    a+b/2=4
    *c'est ici que je bloque avec le point C je sais que C(2;f(2)) puis je ne sais pas trop comment faire voila si vous pouviez m'aider

    merci d'avance

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Haexyrus

    Re : dérivée

    -je calcule la dérivée de f : f'(x)=b(x²+1)-2bx²/'x² -2x/(x²+1)²
    Ce résultat ne me parait pas très correct, en es-tu sûre ?
    ∏ Haexyrus Leeuwenhart ∏

  4. #3
    thewoman18

    Re : dérivée

    f'(x)=b(x²+1)-2bx²/4x² -2x/(x²+1)² NAVREE

  5. #4
    Haexyrus

    Re : dérivée

    Ca ne me parait pas correct non plus, essaye de faire partie par partie, tu verras que tu oublies pas mal de choses
    ∏ Haexyrus Leeuwenhart ∏

  6. #5
    thewoman18

    Re : dérivée

    ah bon pourtant là bonne équation

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Haexyrus

    Re : dérivée

    Regarde, je vais détailler quelques étapes :

    On a f(x) = a + [(b*x) / (x² + 1)] + [c / (x² + 1)] qui s'écrit aussi
    f(x) = a + [(b*x + c) / (x² + 1)], tu es d'accord la ?

    On pose g(x) = (b*x + c) / (x² + 1)

    La dérivée de (b*x + c) est bien égale à b.

    La dérivée de x2+1 est bien égale à 2x, donc la dérivée de son inverse est [-2x / (x² + 1)2]

    Par suite, la dérivée g'(x) = (b - b*x2 - 2*c*x) / (x² + 1)² qui sera aussi la dérivée de f car la dérivée de a est égale à 0 (une constante)

    J'ai sauté les étapes de simplification etc..; mais j'espère que c'est assez clair
    ∏ Haexyrus Leeuwenhart ∏

  9. Publicité
  10. #7
    Haexyrus

    Re : dérivée

    En fait, ce que j'ai utilisé, c'est les opérations sur les dérivées après avoir décomposer f puis g en fonctions usuelles : f1=a, f2=b*x + c, f3=x2+1 et f4 = f2/f3

    J'ai donc f'1 = 0 (fonction constante)
    f'2 = b (fonction polynôme)
    f'3 = 2*x (fonction polynôme)

    Or, f4 = f2/f3 donc
    f'4 = [f'2*f3 - f2*f'3] / (f3

    Et on a f = f1 + f4 donc f' = f'1 + f'4

    Et voilà, tu trouve le bon dérivé
    ∏ Haexyrus Leeuwenhart ∏

  11. #8
    thewoman18

    Re : dérivée

    d'accord mais alors comment trouver a b et c avec ta méthode

  12. #9
    Haexyrus

    Re : dérivée

    Ce n'est pas "ma mèthode", c'est juste une bonne mèthode pour faire ...

    Sinon, pour trouver a, b et c, il suffit d'utiliser les tangentes qu'on t'a donnés : tu sais bien qu'une tangente à la coubre d'une fonction f au point d'abcisse "z" a pour coefficient directeur f'(a).

    Or, on a une première tangente passant par A(1,5/2) donc son coefficient directeur est f'(1). D'un autre coté, tu as B(3,11/2) appartient à cette même tangente donc tu peux savoir connaitre la valeur exacte de ton coefficient directeur et tu obtiens donc une première équation qui te donnera c !

    Tu fais le même travail pour la deuxième tangente : elle est parallèle à l'axe des abcisses donc son coefficient directeur est nul. Or, cette tangente l'est au point d'abcisse 2 donc f'(2) = 0 . Cette équation te donnera b !

    Pour trouver a, c'est le plus simple : tu as A appartient à la courbe de f, fais marcher ton imagination...

    Je crois que je suis trop bon ce soir, je t'ai pratiquement donné la réponse ...
    ∏ Haexyrus Leeuwenhart ∏

  13. #10
    thewoman18

    Re : dérivée

    ouais si tu veux merci des tes efforts

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