produit scalaire

[invite2a6ae9f0]

Slt, je suis une élève de 1ºS qui a quelques difficultées et j'ai besois d'aide pour mon DM, SVP
Alors, ABC est un triangle renctangle en A.
On appelle M le milieu de [BC], H le projeté de A sur (BC), K le projeté orthogonal de H sur (AB) et L le projeté orthogonal de H au (AC).
On se propose de montrer que les droites AM et KL son perpendiculaires.

1) Exprimer vec AM en fonction des vec AB et AC.
J'ai un probleme, parceque j'allais utiliser une des formules sur les médianes mais je me suis rendu compte que les formules ne sont pas avec des vecteurs, et donc la he sais plus.( Mais je crois que AM^2= vec AM??)

2) Montrer, en exprimant de deux façons le produit scalaire AH . AB, que
AH^2= AH . AB
J'ai trouvée deux façons, mais les deux en utilisant Chasles:
AH•AB
=AH•(AH+HB)
=AH² + AH•HB
=AH² (parceque AH y HB sont perpendiculres)


AH•AB
= AH•(AC+CB)
= AH•AC + AH•CB
= AH•AC (car AH et CB sont orthogonaux)
= AH•(AH+HC)
= AH^2 + AH•HC
= AH^2 (car AH et HC sont orthogonaux)


3) Montrer que AK . AB= AL . AC

j'ai trouvée ça:
AK•AB= (AH+HK)•(AC+CB)
= AH•AC + AH•CB + HK•AC + HK•CB
= AH•AC + AH•CB + HK•(AC+CB)
= AH•AC + AH•CB + HK•AB
= AH•(AC+CB)
= AH•AB
= (AL+LH)•(AC+CB)
= AL•AC + AL•CB + LH•AC + LH•CB
= AL•AC + LH•AC + CB(AL+LH)
= AL•AC + LH•AC + CB•AH
= AL•AC

on a bien AK•AB= AL•AC ( et biensûre, ce sont tous des vecteurs)

4) Calculer le produit scalaire AM . KL. Conclure.

Se serai vraiment gentil de votre part svp, merci d'avance!
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[Jeanpaul]

Tu y es presque. Il te manque l'expression de AM. Que vaut la somme AB + AC ?
Et ensuite tu fais le produit scalaire AM.KL

[invite2a6ae9f0]

Pour le 1 j'ai trouvé quelque chose, mais comme je le trouve assez mple, je suis pas sure:
AM=(AB+AC) / 2 (toujours en vecteurs biensure)

et pour le 4)
AM·KL
=1/2[AB+AC]·(KA+AL)
=1/2(AB·KA+AB·AL+AC·KA+AC·AL)
=1/2(AB·KA+AC·AL)
=1/2[ -(AK·AB)+AC·AL]
en regardant la réponse à la question antérieure
=1/2[ -(AL·AC)+AC·AL]
=1/2 x 0
=0
comme le produit scalaire est nul, alors les droite (AM) et (KL) sont perpendiculaires

[Jeanpaul]

Paraît bon.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2a6ae9f0]

Ok, merci.

Maintenant j'ai un autre exercice:

1) Construire un triangle ABC tel que AB=3, AC=5 et Â=120º
2) a) Calculer BC, cos B, et l'aire S de ce triangle.

Pour calculer BC, d'après la formule d'Al-kaschi:
BC^2= AC^2 + AB^2 - 2AC·AB x cos Â
= 25 + 9 -2 x 5 x cos120º
= 49
BC= 7 cm

Pour calculer cos ^B, j'ai aussi utilisé la formule d'al-kashi, mais j'ai un problème car je ne sais pas comment tranposer cos ^B:

AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2BC·AB x cos ^B
cos ^B = ?


Pour calculer l'aire:
S= 1/2 AC x AB x sin Â
= 1/2 5 X 3 X sin 120º
= 6, 49 cm^2

b) Donner un encadrement de ^B en degrés à 0,001 près.

3) On appelle I le milieu dE [BC]: calculer AI
en utilisant un des formules de la médiane:
AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + 1/2 BC^2
AB^2 + AC^2 - (1/2 BC^2)= 2 AI^2
[AB^2 + AC^2 - (1/2 BC^2)]/2= AI
AI^2 = [9 + 25 - (1/2 X 9)] / 2
AI^2 = 4, 75
AI = racine carrée de 4,75 cm

4) On appelle H le projeté orthogonal de A sur le côté [BC]: calculer AH
On considère que le triangle ABH est rectangle en H.
On a donc:
sin ^B = AH/AB
soit AH = sin ^B x AB
= sin 40º x 3 (j'ai trouvé la mesure de l'angle en mesurant sur la figure, mais normalement c'est le résultat de la question a)
= 1,9 cm

[Jeanpaul]

Petite faute de frappe au début (tu as oublié un x3 dans l'équation mais le résultat est juste).
Je ne vois pas ce qui t'empêche de calculer cos(B), tu connais tous les éléments de l'équation : 25 = 58 - 42 cos(B)
Pour calculer AH tu pourrais te servir de l'aire, c'est plus simple.