Point spécial

[invited6f327c1]

Bonsoir tout le monde, je fais ma tournée d'exo et je bloque sur celui ci :

Enoncé:
Un triangle ABC étant donné, on construit sus ses côtés trois carrés exterieurs au triangle de centres O1, O2 et O3.

1. Prouver que O1 et C ont pour images respectives B et D par la similitude de centre A, d'angle Pi/4 et de rapport racine(2).
2. Quelles sont les images de D et B par la similitude directe de centre C, d'angle Pi/4 et de rapport (racine(2))/2?
3. En déduire que C01 = O2O3 et que (CO1) et (O2O3) sont perpendiculaires.
4.Quels autres résultats obtiendrait-ond e façon analogue?
En déduire que (CO1), (BO2) et (AO3) sont concourantes. ( Le point de concours s'appelle "le point de Vecten" du triangle ABC)


Le prob pour moi est que je ne sais pas comment débuter ne serait-ce qu'a la question 1).
Pour la 2) je pense à O2 et O3, mais je ne sais pas comment le prouver (car je n'ai pas de z'=az+b..)
Le reste je ne vois pas non plus comment commencer.

Si quelqu'un a une idée?
Merci.
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[shokin]

Salut,

Pour la question 1 :

- Sais-tu ce que signifie une similitude de centre A, d'angle @ et de rapport m ?
- Dans un carré, quel est le rapport entre la longueur de sa diagonale et la longueur de son côté (prends l'exemple où ce dernier mesure 1) ?
- Sais-tu qu'en radian un angle qui mesure pi/2 est un angle droit ? Combien mesure alors, par exemple l'angle CAD ?

Si tu as réussi à répondre aux remarques précédentes, tu es à même de répondre à la question 2.

Pour la question 3, aide-toi des questions 1 et 2 et de quelques manipulations algébriques.

Pour la question 4, tu peux nomme trois points, par exemple S, T et U, qui sont respectivement les intersection de (CO1) et (BO2), (CO1) et (AO3), (BO2) et (CO3). Et prouver alors que S, T et U sont confondus.


Shokin

[invite0e5404e0]

Bonsoir!
Ah celui-là c'est un classique du genre... em je m'égare, pardon...
AO₁B est un triangle rectangle isocèle donc AB/AO₁= et l'angle fait . Pareil pour ACO₂.
Et pour la 3, souviens toi que l'image d'un segment par une similitude plane directe est un segment de même longueur.
Bon courage!

[invited6f327c1]

Salut,

Pour la question 1 :

- Sais-tu ce que signifie une similitude de centre A, d'angle @ et de rapport m ?
- Dans un carré, quel est le rapport entre la longueur de sa diagonale et la longueur de son côté (prends l'exemple où ce dernier mesure 1) ?
- Sais-tu qu'en radian un angle qui mesure pi/2 est un angle droit ? Combien mesure alors, par exemple l'angle CAD ?

Si tu as réussi à répondre aux remarques précédentes, tu es à même de répondre à la question 2.

Pour la question 3, aide-toi des questions 1 et 2 et de quelques manipulations algébriques.

Pour la question 4, tu peux nomme trois points, par exemple S, T et U, qui sont respectivement les intersection de (CO1) et (BO2), (CO1) et (AO3), (BO2) et (CO3). Et prouver alors que S, T et U sont confondus.


Shokin

"- Sais-tu ce que signifie une similitude de centre A, d'angle @ et de rapport m ?
- Dans un carré, quel est le rapport entre la longueur de sa diagonale et la longueur de son côté (prends l'exemple où ce dernier mesure 1) ?
- Sais-tu qu'en radian un angle qui mesure pi/2 est un angle droit ? Combien mesure alors, par exemple l'angle CAD ?"

-Pour la signification de la similitude de centre A, d'angle @ et de rapport m, je ne vois pas exactement ce que tu veux dire.
-Pour le rapport entre la longueur et la diagonale du carré on a :
(Diagonale)² = 2((Coté)²).
Donc si coté = 1, diagonale = racine(2)
-angle CAD = Pi/4, car CAD = CDA = 180 - DCA.


-Pour la 2, je pense a :
C(D) = O2
C(B) = O3
Par contre je ne saurais pas comment justifier ca clairement...


-Pour la 3, comme c'est une similitude, il y a conservation des rapport de distance, donc CO1 ) O2O3, mais je ne vois pas quoi dire d'autre?
Et pour prouver qu'elles sont perpendiculaires, je ne vois pas quoi utiliser, car j'aurais penser travailler dans le triangle CO2O1 et prouver qu'il est rectangle en C, mais j'vois pas comment...

-Pour la 4, je comprend ce que tu veux dire, mais comment prouver que les point sont confondus? avec quel outil?


Merci de ton aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

Pour la 2), pour justifier que l'image de D est O2 tu dois montrer que l'angle orienté CDO2=+Pi/4 et que le rapport de distances CO2/CD=racine(2)/2. (Ce que tu as déjà fait pour un autre carré).
De même pour pour justifier que l'image de B est O3, il faut justifier un angle et un rapport de distances.

Pour la 3), considère la composée des deux similitudes planes directes des questions 1) et 2). C est envoyé sur ? O1 est envoyé sur ?' Quel est le rapport des longueurs CO1 et ??'. De quel angle a été tourné le vecteur CO1 dans cette composition ?qu'en déduit-on pour (CO1) et (??').

Pour la 4), le couple (C,O1) peut être remplacé par deux autres couple ayant les mêmes propriétés.

Pour la déduction, considère le triangle O1O2O3 (et que sont les droites (CO1), (CO2) et (CO3) pour ce triangle ?)

[invited6f327c1]

Pour la 2), pour justifier que l'image de D est O2 tu dois montrer que l'angle orienté CDO2=+Pi/4 et que le rapport de distances CO2/CD=racine(2)/2. (Ce que tu as déjà fait pour un autre carré).
De même pour pour justifier que l'image de B est O3, il faut justifier un angle et un rapport de distances.

Pour la 3), considère la composée des deux similitudes planes directes des questions 1) et 2). C est envoyé sur ? O1 est envoyé sur ?' Quel est le rapport des longueurs CO1 et ??'. De quel angle a été tourné le vecteur CO1 dans cette composition ?qu'en déduit-on pour (CO1) et (??').

Pour la 4), le couple (C,O1) peut être remplacé par deux autres couple ayant les mêmes propriétés.

Pour la déduction, considère le triangle O1O2O3 (et que sont les droites (CO1), (CO2) et (CO3) pour ce triangle ?)

Ne serait-ce que pour la 1), je ne trouve pas le moyen de pourver que O1 et C ont pour images B et D..
Quelqu'un pourrait m'aider svp?

[invite35452583]

Ne serait-ce que pour la 1), je ne trouve pas le moyen de pourver que O1 et C ont pour images B et D..
Quelqu'un pourrait m'aider svp?

C'est presque pourtant une question de cours.
Je t'en fais une quand même : l'image de O1 est B.
(hors rédaction : l'image O'1 de O1 par la similitude plane directe donnée est l'unique point tel que :
i) l'angle orienté
ii)
Il suffit donc de montrer que B vérifie les égalités i) et ii) pour montrer que B=O'₁ l'image de O₁ par cette similitude.)
On a AO₁B est dans le sens direct car ABC l'est (hors rédaction :enfin on suppose, sinon c'est faux, l'angle de la similitude devrait alors être égal à -pi/4) et O1 est de l'autre côté que C par rapport à (AB) car O1 est le centre du carré extérieur. Donc, une mesure de l'angle orienté (AO1,AB) est compris entre 0 et pi.
AO1B est isocèle car O1 est le centre d'un rectangle ayant A et B comme sommets.*
AO1B est rectangle en O1 car (AO1) et (BO1) sont les diagonales d'un losange.*
Les angles à la base sont donc égaux à +/-pi/4 et vu ce qui précède (AO1,AB)=à +pi/4.
Le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle donne AB²=2.AO₁², d'où, en extrayant les racines positives, .
Donc B est l'image de O₁ par la similitude plane directe de centre A de rapport et d'angle .

* : il est peut-être non indispensable de justifier ces points mais je ne sais plus si en Tle ces résultats sont considérés comme sus ou doivent être à chaque fois prouvés.