Comment prouver qu'il est bien isocèle ?

[invite01e3f9b6]

Bonsoir, voilà j'ai un exercice à faire, où il faut prouver que le trapèze ABCD est isocèle, et je ne sais pas si mon explication est coorect.

Voilà mon énoncé :

C est le cercle trigonométrique associé au repère orthonormal direct (O; i, j) en vecteurs A, B, C, D sont des points de ce cercle C, étant repérés respectivement par les réels 2pi/3, 5pi/6, -3pi/4 et pi/4.
Démontrez que ABCD est un trapèze isocèle.

Voilà mes réponses :

Je converti chaque angle, en pi/12, et j'obtiens :
-2pi/3 = 8pi/12
-5pi/6 = 10pi/12
-3pi/4 = -9pi/12
-pi/4 = 3pi/12

Ensuite, je me place dans l'intervalle [0;2pi[, donc il n'y a plus aucune valeur négative. Ainsi, -9pi/12 se transforme en 27pi/12.
J'observe que les points D et C sont diamétralement opposés, donc CO = OD.
De plus, pour aller du point D au point A : 5pi/12-3pi/12 = 5pi/12. Et pour aller du point B à C il me faut également 5pi/12.
Donc, les distances séparant les points D et A, puis les points B et C sont égales. Donc, le trapèze ABCD est bien isocèle.

Est-ce correct ? Merci d'avance.
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[invite8a80e525]

Rebonsoir,

tout d'abord, convertir les angles est facultatif, tu peux aussi travailler avec des valeurs négatives (mais ce que tu as fait est juste aussi)

Par contre la suite se gâte un peu:

Comme les points A,B,C,D sont tous sur le cercle trigonométrique, tu peux déduire immédiatement que OA=OB=OC=OD

Ensuite, remarquer que C et D sont diamétralement opposés te permet non pas d'établir l'égalié de longeurs, mais de dire que O est le milieu de [CD]

Après tu as bien montré que AD=BC.

Par contre, pour conclure il faut aussi montrer que (CD) et (AB) sont parallèles...

[invite01e3f9b6]

Encore merci pour ton aide =D.

Pour prouver que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, j'aurai tendance à dire qu'elles sont toutes deux "espacées de 5pi/12", entre les points D et A et les points B et C. Mais, cela revient à dire ce que j'ai démontré juste avant, donc je pense pas que ce soit ça.

[invite8a80e525]

Si tu appelles A' le pied de la hauteur issue de A dans le triangle OAD et B' le pied de la hauteur issue de B dans le triangle OBC, tu peux chercher à prouver que BB'A'A est un rectangle... , ce qui prouve (AB)//(CD)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite01e3f9b6]

OULA c'est compliqué .

J'vais essayer de faire comme tu m'as dit, et je te dirai ce que ça donne.

Merci

[invite01e3f9b6]

RE !

Je vois très bien le rectangle BB'A'A, mais pour montrer que c'est un rectangle, c'est autre chose ...

En fait, je serais partie du fait que les droites (AB) et (CD) soient parallèles, mais justement, là, on fait ça pour le démontrer. C'est bien compliqué tout ça .

J'vais quand même essayer de trouver quelque chose, mais ..

[invite8a80e525]

Tu sais déjà qu'il a deux angles droitsconsécutifs, reste à montrer qu'il a aussi deux cotés opposés égaux

[invite01e3f9b6]

Merci

Donc, les deux angles consécutifs sont les angles BB'C et AA'D car ce sont les pieds des hauteurs issues de A et B.
Comme les triangles BB'C et AA'D sont semblables, on sait que leur hauteur sont égales.
Ainsi, BB' = AA', donc BA = B'A'.

Est-ce juste ??

[invite8a80e525]

plutôt BB'=AA' et comme on a deux angles droits consécutifs, c'est un rectangle
(donc BA = B'A')

[invite01e3f9b6]

Ah d'accord =D.
Bah merci beaucoup pour ton aide, ça m'a beaucoup aidé

A bientôt.