PGCD et PPCM de la somme et du produit

[invite25d71a4e]

Je suis désolé mais j'ai absolument besoin de votre aide je dois rendre un sujet en spé maths et je n'ai pas eu le temps de le faire suite a un décès familial
Il me faudrait la correction pour ce soir svp:

1)Soient a et b entiern naturels non nuls tels que PGCD(a+b;ab)=p ou p est un nombre premier
a)Démontrer que p divise a²
(On remarque que a²=a(a+b)-ab)
b)En déduire que p divise a
On constate donc de même que p divise b
c)Démontrer que PGCD(a;b)=p

2)On désigne par a et b des entiers naturels tels que a inférieur ou égal a b
a) Résoudre le système :
PGCD(a;b)=5
PPCM(a;b)=170

b) en déduire les solutions du système
PGCD(a+b;ab)=5
PPCM(a;b)=170

Voila je vous remercie énormément , cela doit être rédigé comme un contrôle donc si sa serait possible je vous en serez très reconnaissant .
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[invite1237a629]

Yop,

Malheureusement, la politique du forum n'est pas de "balancer" les solutions...


Question 1.a) : sers-toi du fait que pgcd(x,y) divise ax+by, quels que soient a et b dans Z.

Question 1.b) : Là je ne suis pas sûre

Question 1.c) : démontre que p divise le pgcd(a,b) et que le pgcd(a,b) divise p.

Pour ce faire, tu sais que si c divise a et b, alors il divise pgcd(a,b) (propriété)

[invite25d71a4e]

Merci quand même pour la 1ère partie j'ai mit sa :
1)
a) p divise a+b et ab donc p divise a(a+b) et -ab, donc p divise a²=a(a+b)-ab
b) Puisque p est premier, et p divise a², alors p divise a (théorème de Gauss)
c) On sait que p divise a et b. Si q est un entier tel que pq divise a et b, alors pq divise a+b et ab, donc pq divise p donc q=1.

Est ce que c'est bon ?

Et par contre j'aurai besoin d'aide pour la 2nde partie svp
Encore Merci .

[invite25d71a4e]

Up SVP ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[portoline]

Up SVP ?

bonsoir le nombre dont le PPCM est 170 est forcément un multiple de 2 ; 5 ; et 17 donc tu peux écarter tous les autres et le nombre dont le PGCD est 5 est forcément un multiple de 2 et 5 ; maintenant il est difficile de te mettre sur la voie sans te donner la réponse ou alors explique moi ; il n'y a que 2 solutions :: 85 et 10 j'espère que t'auras une bonne note