Les complexes en géométrie

[invite97c63371]

Bonjour, j'ai un dm sur les complexes en géométrie à rendre pour la semaine prochaine et comme d'habitude je j'arrive pas à trouver les solutions seul.

1. Démontrer que les triangles ABC et PQR ont le méme centre de gravité.

2. démontrer que dans le carré construit sur [ AB ], on a : p = a - ib / 1 -i

Etablir des relations analogues pour q et r en raisonnant dans les deux autres carrés.

3. Démontrer que les drites (AQ) et (PR) sont perpendiculaires

En déduire que les droites (AQ), (BR) et (CP) sont concourantes


Bon voila c'est les questions, on m'a déja un peu aidé pour la 1) mais bon j'ai vraiment du mal à associer les complexes sur cette figure en admettons qu'on prenne le point A en origine.
J'éspére que l'on pourra m'aider

merci
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[invitea3eb043e]

Pour un problème comme celui-ci où les 3 points A, B et C jouent le même rôle, il n'est en général pas avisé de privilégier un des sommets en le prenant pour origine. Ca interdit de faire des permutations circulaires en remplaçant A par B, B par C, etc..
Donc on va prendre l'origine n'importe où mais on remarque que comme G est le barycentre de A, B et C avec les poids 1, son affixe sera zG = 1/3(zA + zB + zC)
Ensuite on remarque qu'on passe de A en R en faisant tourner AC de 45° et en le réduisant de racine(2)/2.
Tout ça pour dire que l'affixe de AR est l'affixe de AC multiplié par (1+i)/2
(regarde bien la figure et tu verras qu'ajouter AC et i AC envoie au coin opposé, donc AR est la moitié de ça.
Ensuite en avant pour la relation de Chasles :
zR - zA = (zC - zA)*(1+i)/2
Tu fais pareil pour les 2 autres points (permutation circulaire comme dit plus haut), tu ajoutes et tu trouves que zR + zP + zQ = ...
Donc...

[invite97c63371]

Tu me dis " on remarque qu'on passe de A en R en faisant tourner AC de 45° et en le réduisant de racine(2)/2 " mais aussi si tu regardes bien sur la figure le point A n'est pas sur le segment [PR] donc il y a pas de rotation.

On m'avait expliquer ceci :
-Prendre l'origine A
-A est l'image de B dans la rotation de P par pi/2
d'ou 0-p = ei pi/2 ( b-p) <=> -ib= p(1-i)
Ceci étant pour le coté AB

Pour les autres on avait trouvé (1-i)q= b -ic ( pour le coté) Bc

et (1-i)q=c

PS: a,b,c,p,q et r affixes respectives des points A,B,C,P,Q et R


Donc ensuite on avait (1-i) (p+q+r) = c -ib +b -ic = (1-i)(c+b)

soit p+q+r= c+ b + a avec a= 0 ce qui signifie que les triangles ont le méme centre de gravité.

Bon voila j'ai donné la réponse mais je ne la comprend pas et comme j'ai pas envie de recopier bétement, je voudrais avoir des explication concernant le résultat (1-i)q= b -ic et (1-i)q=c .


Svp aidez moi, merci à vous

[invitea3eb043e]

J'ai fait une petite imprécision que je corrige.
Il faut dire qu'on passe de C à R par une rotation de pi/4 autour de A suivie d'une homothétie de rapport racine((2)/2.
Une rotation de pi/4 autour de A revient à multiplier l'affixe de AC par exp(i pi/4) et quand on multiplie ce complexe par racine(2)2 on trouve qu'on multiplie par (1+i)/2.
C'est plus simple que ce que tu écris quoique le résultat soit exactement le même et la conclusion sur G aussi.
Mon problème c'est que je ne comprends pas bien ce que tu désignes par p et q.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97c63371]

p et q sont les affixes de P et Q

On ne peut pas faire ta méthode puisque A n'est pas sur [PR]

Alors?

[invitea3eb043e]

Il y a 2 choses qu'il ne faut pas confondre : l'origine des coordonnées et le centre de rotation.
Le principe des nombres complexes, c'est d'associer à chaque vecteur un nombre complexe. Souvent, bien entendu, si on se donne une origine, ce vecteur servira à déterminer un point du plan.
La multiplication par un réel consiste à multiplier ce vecteur par ce réel, mais le vecteur résultat peut être n'importe où dans le plan, simplement il est plus long.
Pareil si on multiplie par i par exemple, ça crée un vecteur de même longueur situé n'importe où et perpendiculaire au premier.
C'est ça que je fais en multipliant le vecteur AC par (1+i)/2, ça crée un vecteur que je dis égal au vecteur AR. Et à partir de ça je détermine la position du point R. Ensuite c'est comme tu fais. Mais en fait rien ne m'oblige à tourner autour de A, on voit mieux quand on le dit, c'est tout.

[invite97c63371]

pff je ne comprend pas .

Comment tu sais que c'est (1+i)/2 ?


Peux tu me faire le premier? c'est à dire celui la :
zR - zA = (zC - zA)*(1+i)/2

Comment tu remplace zR et les autres?

Vraiment trés compliqué cet exercice

[invitea3eb043e]

Pas trivial à distance, c'est vrai.
Pour que tu comprennes mieux, on va introduire le point R' qui est le sommet du carré opposé à A, donc AR' = 2 AR (en vecteurs).
Je regarde le vecteur AC. Quand je le multiplie par i, ça fait un vecteur de même longueur tourné de + pi/2 et je vois que ça fait un vecteur égal à CR'.
Donc quand j'ajoute AC + CR', ça fait un vecteur qui vaut AC + i AC donc j'en déduis que le vecteur AR' vaut AC (1 + i) donc que AR vaut AC (1+i)/2
Je préfère travailler sur les affixes des point A, C et R.
Le vecteur AC a pour affixe zC - zA (c'est Chasles)
Le vecteur AR a pour affixe zR - zA (toujours Chasles)
et j'en tire l'équation demandée.
Pour les autres relations, je remplace A par B, C par A et R par P (permutation circulaire)

[invite97c63371]

Ok attend je regarde ...

[invite97c63371]

Oui donc j'ai :

- zp - zb = za - zb (1+i)/2

- zq - zc = zb - zc (1+i)/2

donc:

zp +zr +zq = (za -zb ((1+i)/2)+zb) + ( zc -za ((1+i)/2) + za) + (zb -zc ((1+i)/2) +zc)


et aprés pour simplifier tout ça euh ...

[invite97c63371]

On trouve :

zp + zq + zr = za + zb +zc c'est bien ça?

Donc cela signifie que les triangles PQR et ABC ont le méme centre de gravité?


Ensuite pour le 2. on a p= a-ib/1-i <=> p(1-i)= a-ib
<=> p -ip = a-ib
<=> i(b-p)= a-p
<=>a-p= eipi/2 (b-p)

Or, on passe de A à B par une rotation à P de pi/2

(a-p) est le vecteur PA ; ( b-p) est le vecteur PB, donc c'est une rotation de vecteur.

C'est bon ou pas?

Merci.

[invitea3eb043e]

Oui donc j'ai :

- zp - zb = za - zb (1+i)/2

- zq - zc = zb - zc (1+i)/2

donc:

zp +zr +zq = (za -zb ((1+i)/2)+zb) + ( zc -za ((1+i)/2) + za) + (zb -zc ((1+i)/2) +zc)


et aprés pour simplifier tout ça euh ...

Tu as perdu des parenthèses et ça change tout.
Ensuite tu vas confondre les tirets et les signes -.
Il faut écrire les 3 relations et ajouter, ça donne la somme zp+zq+zr qui est égale à celle de zA+zB+zC d'où les centres de masse qui sont les mêmes.

[invite97c63371]

ben sur mon dernier message j'ai bien trouvé le méme résultat que toi, t'es pas d'accord? mon 2. est bon ou pas? merci

[invite97c63371]

S'il te plait j'ai vraiment besoin de ton aide pour cet exercice

[invitea3eb043e]

Mets les parenthèses, sinon ce n'est pas juste. C'est vrai qu'il faut trouver zA + zB + zC = zP + zQ + zR mais ce n'est pas une raison pour saboter les résultats intermédiaires.

[invite97c63371]

(zp - zb) = (za - zb) ((1+i)/2)

(zq - zc) = (zb - zc) ((1+i)/2)

(zr - za) = (zc - za) ((1+i)2)


zp= [(za - zb) ((1+i)/2) +zb]

zq= [(zb - zc) ((1+i)/2) +zc]

zr= [(zc - za) ((1+i)2) +za]

zp+zq+zr= [(za - zb) ((1+i)/2) +zb] + [(zb - zc) ((1+i)/2) +zc] + [(zc - za) ((1+i)2) +za]

En simplifiant on a zp+zq+zr = zb+zc+za

Voila

Peux tu me dire si j'ai bon pour le 2. ?



" Ensuite pour le 2. on a p= a-ib/1-i <=> p(1-i)= a-ib
<=> p -ip = a-ib
<=> i(b-p)= a-p
<=>a-p= eipi/2 (b-p)

Or, on passe de A à B par une rotation à P de pi/2

(a-p) est le vecteur PA ; ( b-p) est le vecteur PB, donc c'est une rotation de vecteur. "

[invitea3eb043e]

Eh bien voilà ! Tu as compris les rotations de vecteurs en notation complexe.

[invite97c63371]

hé oui je suis fiére de moi!

Merci beaucoup pour ton aide!!!