Bonjour à tous,
Voila quelques temps que je planche sur un DM et notamment sur une question dont je ne trouve pas la réponse:
Soit n un entier supérieur ou égal a 1, et z1, z2,....,zn n complexes non nuls d'images M1,M2,.....,Mn dans le plan. Pour k appartenant à {1,2,....,n}, on note ak=zk/|zk| et on suppose, quitte a changer d'origine que la somme des ak vaut 0.
a) Soit fi une application définie sur C dans C par fi(z)= (somme de k=1 a n)(ak barre)x(z-zk). Montrer que fi est un réel strictement négatif indépndant de z.
b) Montrer pour tout z de C que (somme de k=1 a n) de |z-zk|>= (somme de k=1 a n) de |zk|
c) On suppose n supérieur ou égal à 3, montrer que l'ensemble des points M d'affixe z tels que (somme de k=1 a n) de |z-zk|= (somme de k=1 a n) de |zk| est l'intersection des demi-droites issues des points Mk passant par O.
a) Je trouve fi(z)= -(somme de k=1 a n) de |zk|
b) Je trouve bien l'inégalité, pas de probleme. ( En calculant |fi(z)| et grace à l'inégalité triangulaire).
c) La je bloque completement. En fait j'arrive à montrer que le Point O appartient à l'ensemble des solutions ( c'est très simple) mas je n'arrive pas à trouver d'autres conditions et d'autres points possibles.
Merci de votre aide,
Cordialement,
Namsam
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des nombres complexes.