Géométrie nombres complexes

[invite785b016a]

Slt voila un exos de T SI très cour mais ou je n'arrive pas a faire la question 2. Si quelqu'un a une idée la première c'est bon c'est la 2 ....


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[Jeanpaul]

Ce n'est pas très élégant, mais enfin...
Tu construis la somme des vecteurs OM et OM' d'affixes z et z'; tu obtiens le point N d'affixe z+z'.
Tu écris la relation du cosinus dans le triangle OMN en calculant ON², et aussi dans le triangle OMM' en calculant MM'² et tu ajoutes. Ca marche.

[invite785b016a]

Oué mais comment je peut palcer des vecteurs alors que je nest que des modules !

[invite785b016a]

Et je comprend pas lutilisation du cosinus sans triangle rectangle

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Tu peux, et c'est exactement équivalent calculer la somme des 2 carrés scalaires (somme de vecteurs) :
(OM + OM')² + (OM-OM')²
Ces carrés scalaires, ce n'est rien d'autre que les modules carrés de z+z' et de z-z' respectivement.

[invite785b016a]

Daccord mais pour après je narrive pas à continuer je réfléchie depuis 2 semaine et impossible et la cest pour demain donc ...

[invite5cf37a3e]

Bonjour Marcodu58,

Ne peut pas dire que la somme des carrés des diagonales d'un losange quelconque est égale à la somme des carrés de ses 4 côtés?

[invite785b016a]

Alors sa sa marcherais mais ai je le droit de dire que |z+z'|² = ON² ????? avec N point de la diagonale du parallélogramme OMNM'

[invite5cf37a3e]

Oui! tu peux.
z+z' représente le même résultat qu'une somme vectorielle comme l'a rappelé Jean-Paul, donc la diagonale que tu appelles ON.
Pas de problème.
Idem pour l'autre digonale z-z'

[invite785b016a]

donc je montre que OMNM' est un rectangle je lai trouvé en faisant MM'²=OM²+OM'² après dévellopement. ( Pythagore ) et cest tous en fait rectangle de coté OM et OM'. Cest sa ??

[invite785b016a]

ENFIN NON sa va pas sa.... ji arrive pas

[invite785b016a]

A laide c'est pour demain !!!!! Que doit je dire

[invite5cf37a3e]

Effectivement, dans un losange quelconque, Pythagore n'est d'aucun secours.
C'est même pour cela que JeanPaul utilise un cosinus.

Que dire de plus?

z+z' représente la première diagonale, z-z' la deuxième. z et z' les côtés du losange.
Le résultat de JeanPaul exprime la même chose ma formule plus litterale.

Tu peux toujours ajouter qu'on s'aperçoit qu'un calcul algébrique sur des nombres complexes peut servir à résoudre des problèmes géométrique.

cela devrait suffire.

[Jeanpaul]

Regarde ce que ça donne, la somme des 2 carrés scalaires (tout ça ce sont des vecteurs)
|OM + OM'|² + |OM - OM'|² =
OM² + OM'² + 2 OM . OM' + OM² + OM'² - 2 OM. OM' = 2 OM² + 2 OM'²
et c'est fini !
Tu as montré que :
|OM + OM'|² + |OM - OM'|² = 2 OM² + 2 OM'²
ce qui signifie exactement que
|z + z'|² + |z - z'|² = 2 |z|² + 2 |z'|²