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Pgcd,ppcm



  1. #1
    sensor

    Pgcd,ppcm


    ------

    Bonjour je rame sur deux exos concernant le PGCD et PPCM dont voici les énoncés :
    Exo 1

    Déterminer tous les couples (a,b) d'entiers naturels (a>=b) tels que a²-b²=1620 et que le plus grand commun diviseur de a et de b soit 6.

    Exo 2

    1) Soit a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour P.G.C.D. le carré d'un nombre premier p.
    a) Montrer que p² divise a². En déduire que p divise a. Montrer que p divise b.
    b) Démontrer que le P.G.C.D. de a et de b est soit p, soit p².


    2) On cherche à déterminer les entiers naturels a et b tels que P.G.C.D.(a+b,ab)=49 et P.P.C.M.(a,b)=231.

    a) Soit a et b deux tels entiers. Montrer que leur PG.C.D. est 7.
    b) Quelles sont les solutions du problème posé ?


    Pour le premier exo je suis parti de la propriéte suivante:
    il existe a' b' naturels tel que a=Da' et b=Db' et a' et b' premiers entre eux. (avec D=PGCD(a,b))
    J'ai donc posé a=6a' et b=6b'.
    j'ai remplacé ça dans a²-b² est j'ai obtenu : 4*9(a'+b')(a'-b')=1620
    or 1620=4*9*5*3²
    après simplification on obtient (a'+b')(a'-b')=5*3*3
    D'où 2 couples solutions: a'=9 et b'=6 ou a'=7 et b'=2
    Donc a=54 et b=36 ou a=42 et b=12.

    Le PGCD du deuxième couple vaut 6 mais celui du 1er vaut 18.
    Je ne sais pas ou j'ai fais d'erreur. Existe-t-il une autre piste

    (On a vu en cours les théorèmes de Bézout et de Gauss ainsi que des propriétes sur le PGCD et le PPCM)

    Pour le deuxième exo J'ai réussi a faire le début mais je n'ai pas pu montrer que p diviseb (fin 1a) ainsi que le suite du deuxième.

    Pouvez-vous m'aider ?.
    Merci de bien vouloir me répondre.

    -----

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  3. #2
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    D'où 2 couples solutions: a'=9 et b'=6 ou a'=7 et b'=2
    Donc a=54 et b=36 ou a=42 et b=12.

    Le PGCD du deuxième couple vaut 6 mais celui du 1er vaut 18.
    Je ne sais pas ou j'ai fais d'erreur. Existe-t-il une autre piste
    Tires-en une conclusion, de ce calcul de PGCD! Ce n'est pas une erreur que de trouver un PGCD de 18 par la méthode que tu as suivie...

    Ensuite, il y a d'autres solutions...

  4. #3
    matthias

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    après simplification on obtient (a'+b')(a'-b')=5*3*3
    D'où 2 couples solutions: a'=9 et b'=6 ou a'=7 et b'=2
    Donc a=54 et b=36 ou a=42 et b=12.
    Tu as oublié la troisième solution.

    Citation Envoyé par sensor
    Le PGCD du deuxième couple vaut 6 mais celui du 1er vaut 18.
    Je ne sais pas ou j'ai fais d'erreur. Existe-t-il une autre piste
    Ce n'est pas une erreur, ça signifie juste que le couple dont le pgcd vaut 18 n'est pas solution.

    [EDIT: devancé par mmy]

  5. #4
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    Pour le deuxième exo J'ai réussi a faire le début mais je n'ai pas pu montrer que p diviseb (fin 1a)
    Si tu as réussi à démontrer que p divise a, démontrer que p divise b n'est pas vraiement difficile! Réfléchis un peu à ce que représentent a et b...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Oui mais je ne vois pas de troisième solution puisque a>=b .....

  8. #6
    matthias

    Re : Pgcd,ppcm

    Un oubli classique.
    5x3x3 peut aussi s'écrire 1x5x3x3 ...

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  10. #7
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    alors a'+b'=15 et a'-b'=1 a'=8 et b'=7 d'ou a=48 et b=42
    mais ce ne sont pas des solutions ou à moins que je ne vois pas ce que tu veux dire

  11. #8
    matthias

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    alors a'+b'=15 et a'-b'=1
    Tu es sûr que 15x1 = 3x3x5 ?

  12. #9
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Excuse moit c 1*45
    et on trouve donc 2 couples solutions :
    a=138et b=132 ou a=42 et b=12.
    D'ici la je vais réfléchir sur le deuxième exo et je serais de nouveau en ligne demain à partir de 15h45-16h.
    Ciao merci et à demain.

  13. #10
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Bonsoir.
    J'ai réussi à faire la première question de l'EXERCICE II mais je bute sur la deuxième question.
    Pouvez vous m'aider svp ?

  14. #11
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    Bonsoir.
    J'ai réussi à faire la première question de l'EXERCICE II mais je bute sur la deuxième question.
    Pouvez vous m'aider svp ?
    Expliques déjà ce que tu en es sur le 2a... Il y a quand même deux ou trois petites choses à dire, non?

    Cordialement,

  15. #12
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Je comprends mal ta question

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  17. #13
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    Je comprends mal ta question
    Comment appliques-tu le résultat de la question 1 à la question 2a?

    et

    Qu'est ce que le PPCM t'indique d'utile pour répondre à 2a?

    Cordialement,

  18. #14
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    On a vu que le Pgcd est soit p soit p² mais à part ça
    (aujourd'hui je suis un peu fatigué donc j'ai du mal à faire tilt

  19. #15
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    On a vu que le Pgcd est soit p soit p² mais à part ça
    (aujourd'hui je suis un peu fatigué donc j'ai du mal à faire tilt
    Que vaut p dans le cas de la question 2a?

    Et que peut-on dire du PPCM si le PGCD est p? et si le PGCD est p²?

  20. #16
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    p vaut 7 et p²=49

  21. #17
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    j'ai trouvé

    pgcd = 7 ou 49
    si le pgcd était 49 alors il diviserait le ppcm cad 231 (ce sui n'é pas le cas) donc pgcd ab=7

  22. #18
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Pour le 2b... Connais-tu la relation entre le PGCD, le PPCM et le produit de deux nombres? Si oui, qu'en déduis-tu?

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  24. #19
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Décidément j'ai vraiment besoin de repos pour un ne pas voir une chose si simple m'échapper. J'espère que la dernière question me sera évidente et que je ne metterais pas de temps.
    j'espère vous donner la réponse dans moins de 5min.

  25. #20
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Merci pour le tuyau.
    En effet MD=a*b
    et donc on a 2 soltuions a=7 et b=231 ou a=231 et b=7
    c'est ça (je ne suis pas encore allé me coucher mais je ne vais pas tarder.
    )

  26. #21
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    Merci pour le tuyau.
    En effet MD=a*b
    et donc on a 2 soltuions a=7 et b=231 ou a=231 et b=7
    c'est ça (je ne suis pas encore allé me coucher mais je ne vais pas tarder.
    )
    Vérifies si elles sont solutions...

    Et on te demandes de chercher toutes les solutions!!


    EDIT: J'ai changer le message, je m'était trompé dans le précédent texte...

  27. #22
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    on ne peut pas écrire que ab=1*1617 ou vice-versa car pgcd =7

  28. #23
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    on ne peut pas écrire que ab=1*1617 ou vice-versa car pgcd =7
    Correct, mais il y encore d'autre possibilités!

    Et as-tu vérifié (7, 231)?

  29. #24
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    7, 231 ne marche pas.
    par contre ab=3*7*7*11

    et je trouve comme unique couple qui marche a=21 et b=77

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  31. #25
    invité576543
    Invité

    Re : Pgcd,ppcm

    Citation Envoyé par sensor
    7, 231 ne marche pas.
    par contre ab=3*7*7*11

    et je trouve comme unique couple qui marche a=21 et b=77
    Là, d'accord...

  32. #26
    sensor

    Re : Pgcd,ppcm

    Merci beaucoup pour les pistes. Je vais me coucher tot et me ressourcer avant d'attaquer les 4h de maths de demain matin (2h de spé et 2h de normale)

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