Bonjour je rame sur deux exos concernant le PGCD et PPCM dont voici les énoncés :
Exo 1
Déterminer tous les couples (a,b) d'entiers naturels (a>=b) tels que a²-b²=1620 et que le plus grand commun diviseur de a et de b soit 6.
Exo 2
1) Soit a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour P.G.C.D. le carré d'un nombre premier p.
a) Montrer que p² divise a². En déduire que p divise a. Montrer que p divise b.
b) Démontrer que le P.G.C.D. de a et de b est soit p, soit p².
2) On cherche à déterminer les entiers naturels a et b tels que P.G.C.D.(a+b,ab)=49 et P.P.C.M.(a,b)=231.
a) Soit a et b deux tels entiers. Montrer que leur PG.C.D. est 7.
b) Quelles sont les solutions du problème posé ?
Pour le premier exo je suis parti de la propriéte suivante:
il existe a' b' naturels tel que a=Da' et b=Db' et a' et b' premiers entre eux. (avec D=PGCD(a,b))
J'ai donc posé a=6a' et b=6b'.
j'ai remplacé ça dans a²-b² est j'ai obtenu : 4*9(a'+b')(a'-b')=1620
or 1620=4*9*5*3²
après simplification on obtient (a'+b')(a'-b')=5*3*3
D'où 2 couples solutions: a'=9 et b'=6 ou a'=7 et b'=2
Donc a=54 et b=36 ou a=42 et b=12.
Le PGCD du deuxième couple vaut 6 mais celui du 1er vaut 18.
Je ne sais pas ou j'ai fais d'erreur. Existe-t-il une autre piste
(On a vu en cours les théorèmes de Bézout et de Gauss ainsi que des propriétes sur le PGCD et le PPCM)
Pour le deuxième exo J'ai réussi a faire le début mais je n'ai pas pu montrer que p diviseb (fin 1a) ainsi que le suite du deuxième.
Pouvez-vous m'aider ?.
Merci de bien vouloir me répondre.
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Envoyé par sensor 