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PGCD et PPCM



  1. #1
    nicoroller

    Red face PGCD et PPCM


    ------

    bonjours j'ai un probleme sur un exos

    on me donne PPCM(a;a+5)=PPCM(b;b+5). on appele M la valeur des deux PPCM
    il faud demontrer que si M est premier avec 5 alors a(a+5) et b(b+5) sont premier entre eux

    alors je suppose qu'il faud demontrer que a(a+5)u+b(b+5)v=1. alors j'ai essayer d'ecrire les PGCD de (a;a+5) et (b;b+5) mais je n'arrive pas dutout a une ecriture comme celle du debut

    merci de m'aider a commencer

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    indian58

    Re : PGCD et PPCM

    Il faut montrer que PGCD(a(a+5),b(b+5))=1. Il y a une formule reliant le ppcm au pgcd...

  4. #3
    rvz

    Re : PGCD et PPCM

    Salut,

    Autre remarque : Le pgcd d de a et a+5 divise 5, donc c'est soit 1, soit 5. Si c'est 5, alors 5 divise a et a+5 donc 5 divise M ....

    __
    rvz

  5. #4
    rvz

    Re : PGCD et PPCM

    Du coup, j'ai l'impression que l'énoncé est faux.
    En effet, si M est premier à 5, alors le pgcd de a et a+5 est égal à 1, donc M = a(a+5).
    De même pour b, donc a (a+5) = b(b+5), et du coup, ça m'étonnerait fort qu'ils soient premiers entre eux !

    __
    rvz, qui craque peut-être

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    chr57

    Re : PGCD et PPCM

    salut,

    soit d=PGCD(a(a;a+5);b(b+5))

    alors, il existe a' et b', premiers entre eux tels que:
    d.a'=a(a+5)
    d.b'=b(b+5)

    d.a' et d.b' sont premiers entre eux lorsque a' et b' sont premiers entre eux donc lorsque ...

    PS:
    Autre remarque : Le pgcd d de a et a+5 divise 5, donc c'est soit 1, soit 5. Si c'est 5, alors 5 divise a et a+5 donc 5 divise M
    rvz, c'est le PGCD de a(a+5) et b(b+5) qu'on cherche et non celui de a et (a+5).
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  8. #6
    zinia

    Re : PGCD et PPCM

    Citation Envoyé par chr57 Voir le message
    salut,
    rvz, c'est le PGCD de a(a+5) et b(b+5) qu'on cherche et non celui de a et (a+5).
    Bonsoir,
    N'empêche que si a et a+5 sont premiers entre eux ainsi que b et b+5, a(a+5) et b(b+5) ne le sont pas.
    On doit pouvoir même montrer que les produits ne peuvent pas être premiers entre eux sans aucune condition sur M

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  10. #7
    chr57

    Re : PGCD et PPCM

    ok, je me suis pas servi de ça:

    PPCM(a;a+5)=PPCM(b;b+5). on appelle M la valeur des deux PPCM
    il faut demontrer que si M est premier avec 5 alors a(a+5) et b(b+5) sont premier entre eux
    comment on y arrive alors ?

    ce que j'ai montré avant est faux/non rigoureux alors ?
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

  11. #8
    zinia

    Re : PGCD et PPCM

    Citation Envoyé par chr57 Voir le message
    salut,

    soit d=PGCD(a(a;a+5);b(b+5))

    alors, il existe a' et b', premiers entre eux tels que:
    d.a'=a(a+5)
    d.b'=b(b+5)

    d.a' et d.b' sont premiers entre eux lorsque a' et b' sont premiers entre eux non lorsque d=1
    comment on y arrive alors ?
    L'énoncé est faux
    Comme l'a fait rvz :d= pgcd(a;a+5)=pgcd(a;5) =1 ou 5 et même chose pour d' avec b.
    a(a+5)=M d b(b+5)=M d'.
    Si d=d' les deux produits sont égaux.
    Si d=1 et d'=5 (ou l'inverse) on arrive à contradiction

  12. #9
    chr57

    Re : PGCD et PPCM

    ok, merci, j'ai compris,
    je manque encore un peu d'expérience sans doute.
    Comment identifier un doute avec certitude ?, R.Devos.

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