Propriété des limites de l'exponentielle

[Ard3nt]

Bonjour,

En relisant mon cours de maths pour le bac blanc, je me posais une question toute bête mais qui à quand même un intêret notable.

En étudiant les diverses limites en ( + et - ) l'infini, on a toujours démontrer et redémontrer les limites dans les exercices.
Or il y'a une propriété qui dit :

" A l'infini, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x "

Ainsi, en utilisant cette propriété, on peut facilement determiner des limites sans pour autant passer par 150 calculs longs et inutiles.

Passant mon bac blanc la semaine prochaine, puis-je me permettre de passer par cette propriété et non par la décomposition de limites lors de l'épreuve ?

Cordialement, Ard3nt.
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[invite1237a629]

Plop,

Peut-être as-tu un exemple concret sur lequel tu doutes de la validité ?

Sinon, je pense que tu as le droit d'utiliser cette propriété de "croissance comparée", qui te dit que :

,

Par contre, je ne sais pas si on s'en sert si souvent que ça

[Ard3nt]

Un exemple, eh bien :

Lim (e^x)/(x²+1) = + infini
x-> + infini

et ce sans explication, ce qui en principe, doit se résoudre avec une levée d'indétermination.

( Désolé pour le calcul format calculette de poche ^^ )

[Ard3nt]

Qu'on blame ma stupidité ...

Avec la propriété de croissance comparée, pour mon exemple, il me suffit d'écrire :

(e^x)/(x²+1) = (e^x) * ( x²+1)^-1 ???

Autrement dit, cette propriété est-elle valable pour une fonction ponynomiale ( ou du moins " inférieure " au l'exponentielle ) à la place du x initial ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ben, perso, j'ferais une tite étape avant, c'est dire que la limite de e^x/(x²+1) = limite de e^x/x² puisque 1 est négligeable devant x².

Puis, dire que ça tend vers + infini par croissance comparée.

[invite1237a629]

Autrement dit, cette propriété est-elle valable pour une fonction ponynomiale ( ou du moins " inférieure " au l'exponentielle ) à la place du x initial ?

Elle l'est, mais j'ignore comment on t'a présenté la chose dans ton cours ^^

Pour passer de x au polynôme, il suffit de dire qu'en l'infini, c'est la puissance la plus grande de x qui prime sur les autres. Mais j'aime pas dire ça

(avis totalement personnel, non arraché sous torture et non imposable )

[Ard3nt]

Bah dans mon cours on m'as dit de faire çà " à la régulière " et de passer par tout le blabla.
Pour reprendre l'exemple que j'ai donné, on m'indiquerai de procéder ainsi :

f(x) = (e^x)/(x²+1) = 1/(e^-x)(x²+1)

e^-x --> 0
x-->+infini

x²+1 --> +infini
x--> +infini

Par produit : (e^-x)(x²+1) --> 0
Par quotient : f(x) --> +infini

Voila, sans oublier qu'on peut joliment insérer un théorème de composition pour le e^-x, mais çà, c'est si on aime tartiner ^^.

[invite1237a629]

Euh...

Par produit : (e^-x)(x²+1) --> 0

Et tu tiens ça d'où ? ^^ C'est une croissance comparée aussi ça !

[Ard3nt]

Ah ok ^^ moi on m'avait juste dit que e^-x tend vers 0 quand x tend vers +infini, x²+1 tend vers + infini quand x tend vers +infini.
Du coup la somme des 2 tend vers 0.
Ca doit surement s'appeler une croissance comparée si tu le dis, mais je le savais pas .

Bref, du coup ce que j'ai toujours fait en devoir se limite à de la croissance comparée, donc si je me sert + de la croissance comparée, personne ne devrait me disputer .

Par contre, cette propriété ( " a l'infini , toute ... ) est dans le programme de Term S et il est marqué : " Et avec cette propriété, on conclura sans autre justification, que lim ( de mon exemple ) = +infini quand x tend vers + infini.

Je demanderais çà en fin de cours a mon prof demain je pense.

[invite1237a629]

Du coup la somme des 2 tend vers 0.

avec e^(-x)*(x²+1) tu as une forme indéterminée 0xinfini. Mais par croissance comparée, l'exponentielle prime sur le polynôme. Donc ça tend vers la limite de l'exponentielle, ie 0.

Voui, concernant l'utilisation de telle ou telle propriété, il vaut mieux voir ton prof, c'est tuflu

[Ard3nt]

Oui " somme " lourde erreur ^^ pardonne moi

Merci de tes réponses.

[invite934e4635]

En terminale on fait les suites nan ? car...
_______ +infini
exp(x)=Somme((x^n)/n!)
_______ n=0

ainsi pour toute puissance n de x, il y aura une puissance tel x^n+1 (au moins, cela est juste suffisant pour expliquer ce qui suit) de l'exponentielle divisé par un nombre réel (factoriel de n : n!) et qui donc sera le terme dominant lorsque exp(x)--> infini et x^n --> infini

C'est assez bien expliqué sur wikipedia et la formule de l'exponentielle est mieux écrite.


et voici pour te démontrer mieux la formule l'exemple de exp(1) soit le fameux "e":

exp(1)= 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!

Rappel : x^(0)=1
5! = 5*4*3*2(*1)

[invite1237a629]

exp(x)=Somme((x^n)/n!)

Je ne pense pas que cela soit vu en terminale... Ils ne connaissent déjà pas les développements limités, alors les développements infinis...

[invite934e4635]

bien sur j'ai oublié le ... derrière 1/5! (car il faut continuer d'additioner jusqu'à 1/infini!), mais tu verras que pour n assez grand, on tend bien vers ce fameux nombre e .

perso, j'ai été assez choqué par ces propriétés d'exponentielle jusqu'à ce j'apprenne par moi même à quoi elle correspondait (soit une série).

[invite934e4635]

je précise encore en rappel que 0! = 1 (convention, il n'y a rien de logique la dedans je te l'accorde).

voila le lien de wikipedia --> http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponentielle

[invite934e4635]

et comme je me suis planté dans la formule (j'ai oublié un 1), je la réécris et je l'explique :

exp(1) = (1^0)/0! + (1^1)/1! + (1^2)/2! + (1^3)/3! + ...
= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 ....

[invite1237a629]

Et moi je rappelle que ce n'est pas un truc qu'on voit en terminale

Enfin ça semble beaucoup trop compliqué pour y être.

[Ard3nt]

Effectivement, notre prof nous l'as dit comme çà, sans rien ajouter de plus, et sans aucune utilité en terminale ( ou alors je l'ai lu quelque part, qui sait ? ).

Donc non ce n'est pas vu en terminale.

Pour revenir au sujet initial, avec cette fameuse propriété de l'exponentielle, j'en ai parler a mon prof pendant le cours et il m'a simplement dit que c'était juste, or étant en terminale, si je fais çà au bac, je risque des points inutilement.

J'ai demander un avis de l'utilité de cette propriété dans les études sup de maths, et un ami m'as dit qu'en MP il s'en servait pour vite achever des limites basiques.

[invite1237a629]

Voui, dans le sup, ça paraît évident, on ne nomme même pas la propriété (enfin, sauf si t'es pointilleux ^^). Pour la terminale, à mon avis, tu fais ça si tu as le temps (mieux vaut en mettre trop que pas assez), sinon, ça reste juste et c'est une propriété vue en cours...

Bonne chance !