Optimisation - Stade Olympique

[invite6b9d5710]

bonjour à tous!
bon voila je suis en 1ère S et j'ai du mal à résoudre ce petit exercice d'optimisation, j'ai trouvé quelques trucs mais bon...
Voici l'énoncé :

"Un stade olympique à la forme d'un rectangle avec deux demi-cercles aux extrémités. La longueur de la piste est imposée et mesure 400 mètres.
Quelles dimensions doit-on donner au stade pour que la surface rectangulaire soit maximale ?"

donc j'ai trouvé quelques trucs du genre "2 fois L + l fois Pi = 400" (puisque le diamètre des demi-cercles est égal à "l" la largeur du rectangle)
je suppose qu'il faut trouver une fonction, puis trouver un maximum, mais là je bloque...
si je pouvais avoir un peu d'aide... merci d'avance!
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[invite6b9d5710]

s'il vous plait^^
c'est trop dur?

[invite6b9d5710]

merci beaucoup^^

[invite30a20dba]

Soit L la distance de ligne droite entre les deux demis-cercles du stade et 2I le diamétre de ces demis cercles.
Effectivement, le périmétre du stade est de 2(L+PiI) (La longueur L 2 fois pois 2PiI/2 2 fois pour les 2 demis cercles)
==> 2(L+I*Pi)=400
Maintenant voyons l'aire du stade, il faut l'aire du rectangle L,2I + l'aire du cercle de rayon I
Aire=L*2I+Pi*I²=I(2L+Pi*I)=I(L +L+I*Pi)=I(L+400)
Tu as donc pour trouver le maximum de l'aire à faire varier I et L...
On va prendre un petit exemple qui peut te servir:
Si un carré à un coté = a. Son aire est a² et son périmétre = 4a
Maintenant prenons un rectangle de longueur a+p et de largeur a-p. Son périmétre vaut 4a et son aire vaut a²-p² < a²...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9b2d773e]

J'ai bien tout suivit mais à la fin du raisonnement je ne suis pas d'accord, d'après moi :
i ( L +L + π*i) = i (L + 200) car on sait que 2(L+πi)=400 donc L+π*i=200 Nan ?

Pour la suite je ne vois pas comment faire varier i et L (je n'ai pas compris l'exemple