Déterminer le chiffre des unités d'une puissance

[bourbaki]

En question bonus à un DM, une elève en quatrième a ce problème:
Déterminer le chiffre des unités de 2008^2008

le prof (apparement) affirme que la réponse est 4.
Soit, qui saura me dire où est-ce que je me trompe ?

En vous remerciant d'avance, voici mon raisonnement ...

Effectuons la division euclidienne de 2008 par 10:
2008=200*10+8
En d'autres termes (plus clair pour moi): 2008 congru 8 modulo 10

Soit n un entier naturel.
Alors, 2008ⁿ congru 8ⁿ modulo 10
Plus clairement (pour un élève de quatrième par exemple), le chiffre des unités de 2008ⁿ est le même que celui de 8ⁿ

Interressons nous au chiffre des unités de 8ⁿ alors !
8¹ a pour dernier chiffre 8
8² a pour dernier chiffre 4
8³ a pour dernier chiffre 2
8⁴ a pour dernier chiffre 6
8⁵ a pour dernier chiffre 8 etc.
on remarque que ça se répète (pas tres rigoureux mais on est en 4eme...)
On généralise le résultat comme celà:
toujours avec notre "n" de départ. il existe k un entier positif ou nul tel que, soit n=4k,soit n=4k+1, soit n=4k+2, ou soit n=4k+3. On a le résultat suivant:
8^4k+1 a pour chiffre des unités un 8
8^4k+2 a pour chiffre des unités un 4
8^4k+3 a pour chiffre des unités un 2
8^4k a pour chiffre des unités un 6

Revenons à l'exercice ... Ici, n=2008.

2008²⁰⁰⁸ a donc le même chiffre des unités que 8²⁰⁰⁸. Puisque 2008=4*502, il s'en suit que 2008²⁰⁰⁸ a pour chiffre des unités un 6. (prendre k=502 ...)
-----

[Gwyddon]

Hello bourbaki,

Tu ne te trompes pas, c'est le prof qui s'est planté sur ce coup

D'une part je confirme ton raisonnement (enfin bref pour moi il n'y a aucune faille, un petit manque de rigueur peut-être mais sinon ça va), d'autre part voici l'écriture décimale de 2008²⁰⁰⁸ :

890279993068558838325753121884 574280194168301865659943358192 453329739430556036879712148242 269609693178976315644721029119 830978180772252578288408638261 143613866238054336851717582983 467889102717760779010016482945 521833212251364261128884807223 570219566431433855585701168842 100305403197153612993786693731 397827769668831587788394610896 078384690556138778144748809736 835847165102509231610125000000 509600066165196902819270010402 393637549259647520238368962001 102965210983546926437556530698 840893954747355598312300529935 318916745480126756834310927833 772466944366005670817156660912 978199750660403674447366017413 413712713605929601535776497501 282427041860350583713071882801 228145510550442784573105148274 975077813305227117605952127279 893766579712670128639122168545 723637998140599626268651468373 616710686948588646166371273924 948777893318245415151477991926 700225431121421147369042886045 673333069194100467357928101556 247900613197254727005136031441 146300229560849998601956383588 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429071914678324983736010582435 128597487640567130178439800958 244216549279798517566681079662 159272989716718408698146601981 043264948907601541546504462223 247602224955135163058657269351 640599738023350287418563483054 095841830070836353686028580313 527966476555697221327536212428 837946434735621722682430329866 819311672055610654300707791442 994893256665434205323679596116 856007816721896493811785385479 802328926811811373248012817441 713085931493090181946833551616 524238356632245278479611250669 249205130046970537575468995409 258245647740056687078532625290 020328515436343495225934391557 579571399766229571402327902867 974574430456124196126585206985 708288529898654512754472357326 263725032073275859651779894761 045854738219477099151301624829 044199360217078215057139545639 135524758556589922962621519395 835789570972011213741292671587 283349285011783510354122091414 263726754088004280596632030026 345673010934526340384680513022 700471149210652184857174231233 274391133234541655605963448872 988539732335314813224568426958 856912898086195752907445841093 224055770220599064849571773362 426643934146975854597889014741 415604225592459332962150012544 636422205979773801022251729021 640323785085175742795707502995 522744828914937898293326109562 603491774755724741009862142962 921476017689319780238046876273 139935575895661252578415033404 962805939676964842784138227790 516783153130646083986215138599 918398493308461187694124685683 997963256192096092202181421626 036096670362709701643710094941 069086236040489591021974384190 861966617713396560589399953291 949634115458760068424054095591 292947649068518881302812012537 844015462808477361609333159562 183021924606607344104020207132 916935005263332217420623670969 419505580524797017906122152700 801436824879220439692489736983 898255776408934972310712109523 846370135596551278482050176643 885849865138649224391109712341 530494912546429138600638713692 16

[mx6]

Je suis d'accord avec toi, c'est bien 6 !
J'ai fait la périodicité, nous trouvons une période de 4 avec 8,4;2,6 .
Pour 2008, deja on annule le 2, car 2008 n'est pas divisible par 3 .
Pour le 8, il va tombé dans les multiples de 5, donc on l'annule.
Le problème réside dans le 4 ou 6, car 2008 divisible par 2 et 4 . Et la avec une petite reflexion,je me suis dis à 2000, nous serons à la quatrieme unité de la periode, donc 2008 aura 6 comme chiffre d'unité !

[mx6]

Désolé pour le double post, Gwyddon, comment t'as fait pour avoir les écritures décimales, et une autre question de curiosité , que veut dire ta signature

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Désolé pour le double post, Gwyddon, comment t'as fait pour avoir les écritures décimales, et une autre question de curiosité , que veut dire ta signature

Hello,

Je suis trop fort, j'ai calculé de tête

J'ai utilisé Maple 11, tout simplement

Sinon pour ma signature, il ya des éléments de réponses disponibles dans le fil parlant des signatures justement, un indice : c'est du quenya

[invited185b261]

Bein Ok je Commance attention

déja je dit moi que le chifre 8 est un chifre trés étrange et je vais vous le montré par des petit preuve sans vous raconter l'histoire de ma vie avec le 8.
bon tout simplement je dit que le 8 est le commancement de la fin .(tout simplement) et il est étroitement lier au 9 conte a lui il est le chifre de la fin.

tien par ex
8*1=================8
8*2=16---1+6=========7
8*3=24---2+4=========6
8*4=32---3+2=========5
8*5=40---4+0=========4
8*6=48---4+8=12---1+2=3
8*7=56---5+6=11---1+1=2
8*8=64---6+4=10---1+0=1
jusque la tout va bien mé quand le 9 entre regardé bien
8*9=72---7+2=========9

la diminution du chifre 8 quand il é multiplier et flagrante jusqua la multiplication par le 9 , qui devien 9
tout simplement je vais vous éxpliqué le 9

ex:
9*1=9
9*2=18 1+8=9
9*3=27 2+7=9
9*4=36 3+6=9
......................
................
........
jusqua 9*9=81 est 8+1= quoi = 9 bien sur
alors quesque vous en pencé , moi je dit que le 8 provoque le 9 ces pas comme les autre num le 2 ne provoque pas le 3 ou le 3 ne provoque pas le 4....ect

noublier jammé diminution du 8 jusqu'a attendre le sommé ces a dire le 9. et le 9 se stabilisera.
ces a dire votre situation peut importe la qu'elle en 2008 se diminura jusqu'a attendre brusquement un somé , qui restra en 2009 ( non je dit nimporte quoi la )lol jattend vos msg

[Médiat]

jattend vos msg

Tu viens de découvrir que 8 est congru à -1 modulo 9

[thehoops]

c'est pas des math c'est la numérologie pour moi ...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
tout simplement je vais vous éxpliqué le 9

ex:
9*1=9
9*2=18 1+8=9
9*3=27 2+7=9
9*4=36 3+6=9
......................
................
........
jusqua 9*9=81 est 8+1= quoi = 9 bien sur...

Ce qui est bien (pour toi) avec le 9, c'est que tu peux continuer, ça reste valable.
A quoi reconnait-on un nombre multiple de 9 ? Tu ne devineras jamais

 Cliquez pour afficher

La somme des chiffres qui constituent ce nombre donne 9 ou un multiple de 9 (dont la somme fait également 9 ou un multiple de 9, etc...)

Duke.

PS : comme thehoops, je pense que c'est de la numérologie... maintenant, tu peux en faire ton dada ()... mais n'hésite à faire un peu de français aussi

[invitec928fa82]

salut jai presque le meme probleme sauf que moi c'est 2007^2007 pourier vous maider jai essayer et sa ma donner entre 9 et 3

[invitee7b7ce53]

j'ai un problème à résoudre
sébastien affirme que le dernier chiffre de 3^27 est un 4
leila lui soutient qu'il se trompe
qui a raison?
merci

[VegeTal]

Bonsoir,

pour savoir quel est le chiffre des unité d'un nombre on cherche à déterminer tel que :

.

Dans ton exemple quel est le reste de par 10 ?
Piste à suivre : commencez par étudier quelques restes des différentes puissances de 3.





[...]

jusqu'à trouver une valeur intéressante : en général un 1 ou -1 .

[Flyingsquirrel]

sébastien affirme que le dernier chiffre de 3^27 est un 4
leila lui soutient qu'il se trompe

est-il un nombre pair ou impair ? Par conséquent, peut-il admettre 4 comme chiffre des unités ?

[inviteb0be6f02]

Salut tout le monde !

J'ai un exo de math, je dois trouver le chiffre des unités de 47^47 !

Quelqu'un peux m'aider ?