Point fixes de f

[invite0138cbca]

Bonjour

J'ai un petit probleme je n'arrive pas un debuter un DM si quelqu'un peu ma'ider ce serait sympa le voici
On pose I=[-1,1]
a un nombre quelconque de l'intervalle ]0;2[ et f(x) = 1-ax²

I) point fixes de f

1) justifier que 1< 1+4a < (1+2a)²

2) Par un argument tres simple, justifier que
racine carre de (1+4a) >2a -1 pour a appartient]0;1/2]

3) pour a appartient [1/2;2[ montrer que
racine carre de (1}4a) > 2a -1

4) Déduire des questions precedentes l'existence d'un seul point fixe, nommé xa, dans I de la fontion f

Merci de m'aiguiller c'est urgent
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[Flyingsquirrel]

Salut et bienvenue

Pour éviter qu'on ait l'impression que tu nous demandes de faire ton exercice, il faudrait que tu montres que tu as cherché ou que tu nous dises précisément où tu bloques.

1) avec et car . Ça devrait te permettre de montrer l'inégalité voulue.

Merci de m'aiguiller c'est urgent

Ça, c'est ton problème.

[invite0138cbca]

Merci
mais mon probleme et le 4)

Comment fait t'on pour deduire des questions precedentes un seul point fixe

Juste pour me decoincer un peu

[invite39cbe40b]

f(x)-x=0 est une equation du deuxieme ordre admet donc deux racines distincts si delta>0 donc trouve les deux sultions
puis montre qu'une sulution appartient a -1,1 alors que l'autre ne l'est pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0138cbca]

pourquoi f(x)-x =0

[Flyingsquirrel]

C'est la définition d'un point fixe de : il s'agit d'un point qui n'est pas modifié par la fonction. Autrement dit, est un point fixe de ssi soit .

[invite0138cbca]

Merci j'ai pu finir ces points

je coince plus loins

Soit
x appartient à I. On appelle orbite (periodique) de periode 2 la suite des nombres x,f(x),fof(x) qui obeissent aux trois conditions suivantes:
f(x) <>x , f(x) appartient à I , fof(x) = x
soit a un nombre quelconque de l'intervalle |0,2[. On veut determiner des conditions sur l'existence d'orbites de periode 2 de f dans I.
1) justifier que pour tout x appartient à I, -1 < 1-ax² <1 ça j'ai fait
2) Justifier que pour tout nombre xappartient à I

fof(x) - x =(1-x-ax²)(a²x²-ax+1-a)

je vois pas comment commençé merci de votre aide

[Flyingsquirrel]

On remplace par dans l'expression de la composée :

Si tu développes cette expression, tu dois retomber sur la forme développée de .

[invite0138cbca]

mais qu'est ce qu'il veulent dire par justifier car meme si je developpe ce que j'avais fait je ne sais comment justifier

[Flyingsquirrel]

Pour justifier le résultat de cette question, il suffit d'obtenir une égalité entre le terme et le terme . Pour ça, on les calcule séparément :

• 
  
• 

on constate que les deux expressions sont égales donc . Est-ce plus clair ?

[invite0138cbca]

oui merci beaucoup j'avais developpez trouvez effectivement egalte mais apres je sechais

[invite0138cbca]

presque la fin et merci pour votre aide
Ecrire deux equations verifiées par x pour que (x,f(x),fof(x)) forme une orbite de periode 2
La nous n'avons pas eu de cours sur orbite de deux si quelqu'un peux m'expliquer ce que ça veut dire peut etre que cela suffiras a me decoincer

[Flyingsquirrel]

Ecrire deux equations verifiées par x pour que (x,f(x),fof(x)) forme une orbite de periode 2
La nous n'avons pas eu de cours sur orbite de deux si quelqu'un peux m'expliquer ce que ça veut dire peut etre que cela suffiras a me decoincer

Il n'est pas nécessaire d'avoir vu les orbites en cours pour faire l'exercice, tout est donné dans l'énoncé :

x appartient à I. On appelle orbite (periodique) de periode 2 la suite des nombres x,f(x),fof(x) qui obeissent aux trois conditions suivantes:
f(x) <>x , f(x) appartient à I , fof(x) = x

Pour est une orbite de période 2 si et seulement si , et .

Comme , (on l'a montré dans une question précédente) la condition est toujours vraie et les deux équations que l'on cherche vont donc venir de et de . Il reste à relier ces conditions aux résultats des questions précédentes.

[invite0138cbca]

j'ai resolu les equations
mais il me demande de trouver en fonction de a des valeurs de x susceptibles de donner des orbites de periode 2
une eqution j'ai trouve
1-2a different de x et je coince pour trouve la solution

[Flyingsquirrel]

1-2a different de x et je coince pour trouve la solution

Les solutions de cette équation sont les . Regardes aussi du côté de : cette équation doit te donner plusieurs solutions, celles qui vérifieront la condition seront celles correspondant à une orbite de période 2.

[invite0138cbca]

merci de votre aide

[invite0138cbca]

Mes deux équations sont donc: 1-(1-ax²)²=x et 1-ax²différent de x
Il me demande de trouver en fonction des nombres a des valeurs de x susceptibles de donner des orbites de période 2, je suppose que je dois pour cela résoudre ses deux équations c'est cela?
J'ai essayer , seulement je n'y arrive vraiment pas si vous pouviez m'aider s'il vous plait je vous en serais vraiment reconnaissant!

[Flyingsquirrel]

Mes deux équations sont donc: 1-(1-ax²)²=x et 1-ax²différent de x
Il me demande de trouver en fonction des nombres a des valeurs de x susceptibles de donner des orbites de période 2, je suppose que je dois pour cela résoudre ses deux équations c'est cela?

Oui mais il faut se servir de ce qui a déjà été fait : on a montré que donc l'équation peut être réécrite comme ce qui est plus facile à résoudre que .

[invite0138cbca]

Il me reste une question et je ne voit pas vraiment comment y répondre, je trouve cela un peu incohérent par rapport aux questions précédentes:
5.Vérifier que le nombre a=3/4 ne donne pas d'orbites de période 2.

merci beaucoup de m'aider.

[Flyingsquirrel]

Il me reste une question et je ne voit pas vraiment comment y répondre, je trouve cela un peu incohérent par rapport aux questions précédentes:
5.Vérifier que le nombre a=3/4 ne donne pas d'orbites de période 2.

Pourquoi trouves-tu cela incohérent ? On sait que est une orbite de période 2 si et seulement si et . Autrement dit, pour que ne donne pas d'orbite de période 2, il faut qu'aucun ne vérifie les deux conditions. C'est-à-dire que, pour tout réel , au moins une des deux relations et est vraie. (je te conseille d'étudier la seconde relation en utilisant )