Dérivabilité de la fonction valeur absolue en zéro...

[neokiller007]

Salut,


1er cas: a>0 (h est par définition positif)
Donc:

2ème cas: a<0
Donc:

3ème cas a=0
il est où le problème?

Merci.
-----

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Cela vient peut-être du fait que pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut que la limite à gauche soit égale à la limite à droite de ce point... Et ce n'est pas le cas, comme tu le montres si bien

Duke.

[neokiller007]

Oui, mais là je n'ai pas fait les limites, j'ai appliqué la définition du nombre dérivé...

[Flyingsquirrel]

Salut

3ème cas a=0
il est où le problème?

Tu supposes que est positif alors qu'il peut aussi être négatif.

[A voir en vidéo sur Futura]

[neokiller007]

Ben nan, par définition h étant une "longueure".
On pourrait effectivement prendre h négatif mais ce serait pas très intelligent et ça inverserait tout donc ça reviendrait au même.

[bambalam]

Ben nan, par définition h étant une "longueure".

Non, c'est une valeur algébrique, qui peut être positive comme négative.
Comme quand, pour l'élongation ou la compression d'un ressort, on dit que la longueur l est égale à l₀+x (avec l₀ longueur à vide) : si le ressort est étiré, l est plus grand que la longueur à vide, donc x est positif.
Par contre, si le ressort est compressé, l est plus petit que la longueur à vide, et donc x est négatif.

[neokiller007]

Mon message comportait deux phrases.


De plus je peux très bien poser h>0

[bambalam]

Mon message comportait deux phrases.

Heu, sans agressivité, ça marche aussi

De plus je peux très bien poser h>0

Et dans ce cas, le raisonnement est faux puisque dans la formule du nombre dérivé, h est une valeur algébrique, positive ou négative donc.

A moins que tu ne révolutionnes les maths

[neokiller007]

Heu, sans agressivité, ça marche aussi

Parce que c'est agressif?

Et dans ce cas, le raisonnement est faux puisque dans la formule du nombre dérivé, h est une valeur algébrique, positive ou négative donc.

A moins que tu ne révolutionnes les maths

Au lieu de vous borner à me dire que c'est positif expliquez moi pourquoi.

[bambalam]

Parce que c'est agressif?

Excuse-moi alors, j'avais mal interprété.

Au lieu de vous borner à me dire que c'est positif expliquez moi pourquoi.

J'essaie justement de te dire que ce n'est ni positif ni négatif, mais que c'est une valeur algébrique
Ca peut être l'un ou l'autre, on n'en sait rien, c'est dans le cas général quoi.

Ca rejoint ça :
Non, c'est une valeur algébrique, qui peut être positive comme négative.
Comme quand, pour l'élongation ou la compression d'un ressort, on dit que la longueur l est égale à l0+x (avec l0 longueur à vide) : si le ressort est étiré, l est plus grand que la longueur à vide, donc x est positif.
Par contre, si le ressort est compressé, l est plus petit que la longueur à vide, et donc x est négatif.

[neokiller007]

Effectivement h peut être négatif (comme je l'ai dit plus haut).
Mais je peux très bien poser h>0 sans que ça pose problème. puisque le nombre dérivé est égale au coefficient de la droite passant par deux points de la courbe quand ceux-ci se rapprochent infiniment...

Edit, du coup j'ai même tendance à dire qu'il ne peut pas être négatif vu qu'un coefficient directeur est par définition positif lorsque la droite est croissante et négatif lorsqu'elle est décroissante...

[bambalam]

Effectivement h peut être négatif (comme je l'ai dit plus haut).
Mais je peux très bien poser h>0 sans que ça pose problème. puisque le nombre dérivé est égale au coefficient de la droite passant par deux points de la croube quand ceux-ci se rapprochent infiniment...

Mais dans ce cas, les limites à droite et à gauche ne sont plus les mêmes; tu es obligé de séparer les cas h<o et h>0, comme tu l'as fait (et bien d'ailleurs).

Mais dans ce cas, tu n'as plus un nombre dérivé, mais des limites à droite et à gauche.
Comme s'il y avait une asymptote verticale, un peu (non non messieurs dames profs de maths, je n'ai pas dit qu'il y avait une asymptote verticale en 0 à la fonction valeur absolue )

[Forhaia]

Bonsoir,

Pour pouvoir écrire que

il faut que



et que

[neokiller007]

Mais dans ce cas, les limites à droite et à gauche ne sont plus les mêmes; tu es obligé de séparer les cas h<o et h>0, comme tu l'as fait (et bien d'ailleurs).

Je suis bien d'accord mais ici j'applique la définition du nombre dérivé.

Mais dans ce cas, tu n'as plus un nombre dérivé, mais des limites à droite et à gauche.
Comme s'il y avait une asymptote verticale, un peu (non non messieurs dames profs de maths, je n'ai pas dit qu'il y avait une asymptote verticale en 0 à la fonction valeur absolue )

Dans quel cas?

Bonsoir,

Pour pouvoir écrire que

il faut que



et que

Rapport?

[Forhaia]

Si tu appliques la définition du nombre dérivé, il faut faire les limite à gauche et à droite avant de pouvoir conclure...

(c'était juste une autre manière de présenter ce que dit bambalam)

[neokiller007]

Si tu appliques la définition du nombre dérivé, il faut faire les limite à gauche et à droite avant de pouvoir conclure...

(c'était juste une autre manière de présenter ce que dit bambalam)

Amen

[invite113772dc]

mais non !!!!
c'est juste que :


or, trouver la limite en 0 de parait difficile dans la mesure où cette fonction n'est pas continue en 0.

[neokiller007]

Pourtant comme h est positif h/h=1
Donc on tourne en rond et la question est de comprendre pourquoi h peut être négatif...

[Seirios]

Donc on tourne en rond et la question est de comprendre pourquoi h peut être négatif...

Et pourquoi ne le serait-il pas ?

Si on écrit , cela représente une variation infinitésimale de f. Mais on pourrait autant approximer le résultat par que . Cela vient de l'égalité des limites à gauche et à droite, à condition que la limite exite.


Concernant la dérivabilité de la fonction valeur absolue, tu seras certainement d'accord pour dire qu'elle sera dérivable en 0 si elle admet une dérivée en ce point, c'est-à-dire si la limite existe.

Or, de manière générale, une limite existe si , avec b un réel. On écrit alors

Pour la fonction valeur absolue, il faut donc calculer , puis .

On a donc , puisque, comme , h>0.
De la même manière, .

On a donc , et on en déduit que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en zéro.

[neokiller007]

Oui, mais si h est négatif, alors le coefficient directeur devient:
...

[Seirios]

Pourquoi ? Pour éviter que le coefficient soit négatif ? Parce que l'expression du coefficient directeur reste toujours utilisable.

[neokiller007]

ben parce qu'une droite croissante doit avoir nécessairement un coefficient directeur positif. (par définition: (yb-ya)/(xb-xa))

[Seirios]

ben parce qu'une droite croissante doit avoir nécessairement un coefficient directeur positif. (par définition: (yb-ya)/(xb-xa))

D'accord, je comprends ton problème. Voici une solution que je te propose :

On pose , et on veut calculer f'(a).

Par définition, ,

Or les appartenances mentionnées ci-dessus impliquent , puisqu'on sait de la fonction absolu que .

On a donc , ce qui est cohérent avec le comportement de la fonction sur .

Cela répond-il à ta question ?

[neokiller007]

Heu tu a lu mon premier post?
C'est exactement ce que j'ai fait pour démontrer la dérivabilité sur ]-inf,0[ et ]0;+inf[
Mais je trouve 1 en 0 alors qu'elle n'est pas dérivable en 0...

Et c'est censé répondre à quelle question?

[Seirios]

Heu tu a lu mon premier post?
C'est exactement ce que j'ai fait pour démontrer la dérivabilité sur ]-inf,0[ et ]0;+inf[

Donc ta remarque précédente, à savoir celle-ci :

Oui, mais si h est négatif, alors le coefficient directeur devient:
...

Etait en rapport avec la dérivation en zéro ?

Mais je trouve 1 en 0 alors qu'elle n'est pas dérivable en 0

C'est parce que tu as écris |a+h|-|a|=h, c'est-à-dire que tu pré-supposes que h soit positif, ce qui n'est pas forcément le cas, comme on l'a dit plus haut dans la discussion.

Finalement je ne vois pas ce qui te pose problème, quel endroit te gêne particulièrement ?

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Je ne comprends pas trop ton problème...
Dès le début, tu dis, à juste titre, que la limite en 0^- vaut -1 et en 0⁺ vaut +1 et comme

ben parce qu'une droite croissante doit avoir nécessairement un coefficient directeur positif.

-1 représente alors la pente de la courbe côté négatif et
+1 la pente côté positif.

Jusqu'à preuve du contraire, -1 et +1 sont différents donc il n'y pas continuité en 0 de la dérivée donc la fonction n'est pas dérivable en ce point...

Duke.

[invite85d09bae]

Oui, moi aussi, je n'ai lu que ton premier post et je ne vois pas de quel problème tu parles, sûrement un problème dans ta définition de dérivabilité (et j'ai relevé une erreur) :

==> la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 (c'est un fait! )
==> une fonction est dérivable en a si le taux d'accroissement vaut un réel lorsque h tend vers 0, et si elle admet la même limite lorsque h est à valeurs positives et h à valeurs négatives.
==> içi, l'étude de la valeur absolue impose l'étude de 2 cas (et pas 3) comme tu l'as fais : a<0 et a>0.
==> t'as calculé ces limites de façon propre et juste et tu trouves d'un côté 1 et de l'autre -1, ce sont bien des réels mais ils ne sont pas identiques lorsque h est à valeurs négatives et h à valeurs positives, DONC la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.
==> enfin, revérifie attentivement ton troisième cas : lorsque a=0, on trouve pas mais .

[invite85d09bae]

lol non j'ai compris l'erreur que t'as fais : tu étudies la dérivabilité en 0, donc tu remplaces a par 0 et les deux premiers cas n'ont pas lieu d'être. Arrivé à |h|/h dans le troisième cas, c'est à ce moment qu'il faut étudier les 2 cas et trouver que la fonction n'est pas dérivable en 0.

[invite85d09bae]

En fait on a déjà répondu plusieurs fois à ton problème, je suis redondant. Scouzi

[neokiller007]

Bon tout le monde répète la même chose et on avance pas.

Donc je réexplique clairement mon problème:
Mon problème c'est que je ne comprend pas pourquoi quand h est négatif la formule, de la définition du nombre dérivée, reste la même.
Elle devrait changer, car comme je l'ai dit plus haut une droite croissante à nécessairement un coefficient directeur positif (et donc décroissante négatif).
En effet, le coefficient directeur est défini par (Si et sont deux points de la droite) et avec

Donc si h<0 alors a>a+h donc le coefficient directeur est donc nécessairement :