Fonction Valeur absolue

[invitefd2d9cc1]

salut tous...
comment étudier le sens de variation des fonction de type:
f(x)=lllx-3l-2xl-1l
merci
-----

[shokin]

En partant de l'intérieur ! (comme pour les parenthèses)



Si x>=3, alors...

Si x<=3, alors... ...




Shokin

[invitefd2d9cc1]

oui ça je l'ai fait

Si x>=3, alors f(x)=ll3-xl-1l

Si x<=3, alors f(x)=ll3-3xl-1l

et la je suis bloqué, comment je continue?(quels intervalles faut-il prendre)?
aidez moi svp
merci

[invitea3eb043e]

Pas juste, ta première ligne, ça te coince.
Il faut alors essayer sur d'autres intervalles.
Le mieux serait de faire un tableau grand et propre où en fonction de l'intervalle tu écrirais ton expression.
Il y a le cas x<3 et le cas x>3 mais ensuite on en voit d'autres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Pour les intervalles, il faut prendre ceux qui te simplifient la vie : ceux où tu connais le signe de ce qu'il y a dans la valeur absolue.

[invitefd2d9cc1]

j'ai essayé tout genre d'intervalles mais rien a faire!

[invitea3eb043e]

Le tout est de s'y prendre avec méthode. Le fouillis, c'est mortel avec les problèmes de valeurs absolues.
Tu fais un tableau où la première ligne c'est x entre -infini et + infini.
La seconde ligne c'est (x-3) et tu marques déjà sur la ligne des x une valeur intéressante qui est x=3.
La troisième ligne c'est |x-3| et tu verras que pour x<3 ça vaut 3-x que tu écris dans le tableau et qu'au-dessus ça vaut x-3 que tu écris.
La 4ème ligne c'est |x-3| - 2x. En-dessous de 3 ça vaut 3 - 3x. Au-dessus, ça vaut -3 - x
La 5ème ligne c'est | |x-3| - 2 x|. Là il faut faire attention quand la 4ème ligne peut valoir zéro, ça crée une valeur remarquable de plus.

Et je te laisse finir, mais encore une fois, si tu ne te disciplines pas, tu n'y arriveras jamais.

[invitefd2d9cc1]

merci Jeanpaul c'est plus clair maintenant

[invite85d09bae]

Bon j'ai jeté un coup d'oeil rapide à ton problème sans regarder les détails,et une idée m'est venue, il me semble que la fonction que t'as est une composée d'une composée d'une fonction. Comme j'ai dit c'est juste une remarque, j'ai pas cherché à résoudre le prob mais avec ca, je pense tu peux facilment avoir le sens de variation.

[invite85d09bae]

Arf, jviens de réfléchir mais ca marche pas à cause du 2ème x qui est pas dans la même valeur absolue que le premier. Sinon, tu peux aussi essayer en disant que cette fonction est la composée de x->||x-3|-2x| par X->|X-1| tu étudies les 2 comme te l'a proposé JeanPaul (méthodiquement dans un tableau) puis tu conclus : la composée de 2 fx de même variation sera croissante, sinon décroissante.

Je vais jeter un coup d'oeil sur la calculatrice si c'est faisable, en tout cas si j'ai fais une erreur quelquepart arrêtez-moi tout de suite!

[invite85d09bae]

Alors je laisse tomber la calculatrice et les composées, je vais le faire méthodiquement et vous me direz si j'ai bon et tu me diras chouaib si on a les mêmes résultats. On souhaite écrire cette fonction sans valeur absolue, donc on aura une sorte de fonction par intervalles :

f(x)= |||x-3|-2x|-1| :

-> Pour x>3, x-3>0, donc f = ||-x-3|-1|.
De même pour x>3, on aura -x-3<0 donc f = |x+2|, et toujours pour x>3, x+2>0 donc f = x+2 pour x>3 ! on a fait le plus facile!

-> Pour x=3, on calcule f(3)=5

->Pour x<3, x-3<0 donc f= ||-3x+3|-1|.
Tout le reste dans l'intervalle - l'infini; 3[:
-> pour x>1 -3x+3<0, donc f = |3x-4|
-> pour x>4/3 , 3x-4>0, donc f= 3x-4
-> pour x=4/3, f(4/3) = ...tu calcules (en reprenant la formule du tt début)
-> pour x<4/3, 3x-4<0, donc f = -3x+4
-> pour x=1, f(1) = 1
-> pour x<1, -3x+3>0, donc f = |-3x+2|
-> pour x>2/3, -3x+2<0, donc f= 3x-2
-> pour x=2/3, tu calcules f(2/3) avec la formule du début (la flemme à cause des fractions...désolé)
-> pour x<2/3, -3x+2>0 donc f= -3x+2


En conclusion, f(x)= |||x-3|-2x|-1| équivaut à la fonction telle que :
f(x)= x+2 pour x dans ]3; + l'infini[
f(x)=3x-4 pour x dans ]4/3 ; 3[
f(x)=-3x+4 pour x dans ]1;4/3[
f(x)=3x-2 pour x dans ]2/3 ; 1 [
f(x) = -3x+2 pour x dans ] -l'infini; 2/3[

et f(3)= 5, f(4/3)=... , f(1)=1, et f(2/3)=...


Voili voilou! ceux qui l'ont fait vérifiez svp pour qu'on voit si on a bon!
Une belle fonction par intervalle au final! Pour l'étude, tu commences par sa continuité (elle est définie sur R) puis dérivabilité, etc....
......merci Jeanpaul!!

[invitefd2d9cc1]

oui essaye...mais je pense qu'il est plus facile d'enlever le signe de la valeur absolue, ensuite déterminer la fonction dérivée sur chaque intervalle et son signe et en déduire le sens de variation...

[invitefd2d9cc1]

je vai faire un truc pareil pour vérifier

[invite1237a629]

Salut,

Tout ce qu'il faut retenir, c'est que |a| = a si a > 0
|a| = -a si a < 0
C'est pourquoi il faut distinguer les deux intervalles à chaque fois, parce que l'écriture ne sera pas la même.

[CM63]

Ouaip! Bien dit! Et ce sera beaucoup plus simple qu'avec des dérivées!

[invitefd2d9cc1]

oui ça c'est sure MiMoiMolette,mais comment tu fais avec 3 intervalles a la fois?

[invite85d09bae]

oui ça c'est sure MiMoiMolette,mais comment tu fais avec 3 intervalles a la fois?

et moi ce que j'ai fais ca sert à rien??

Le problème des intervalles est certes le problème principal de cette fonction mais je pense surtout que c'est un problème mineur ! Les intervalles ne se "chevauchent" pas!
Il faut, comme on l'a fait, commencer par expliciter cette fonction en enlevant les valeurs absolues pour avoir une fonction affine sur chaque intervalle! et là tu regardes leur signe et leur variation !

Alors, si je ne me trompe pas (j'espère! sinon arrêtez moi! ):
->pour x dans ] - l'ifini; 2/3[ : f est décroissante et positive (au-dessus de l'axe des abscisses car f=-3x+2), à x=0, f=2 et à x=2/3, f = 0 (j'ai enfin fait les calculs et ouf!! ca tombe pile! ).
->après pour x dans ]2/3; 1[ : f remonte et reste positive et f(1)=1
-> pour x dans ]1;4/3[ : f redescend jusqu'à f(4/3)=0 (ouaiiii!!!!)
-> pour x dans ] 4/3; 3[ : f remonte de 0 à f(3)=5 et reste donc positive.
-> poux x >3 : f reprend à 5 et remonte à l'infini en étant positive!

Voilà, vous la visualisez mieux là la fonction? je l'espère, et surtout j'espère ne pas avoir fait d'erreurs et avoir été complet et compréhensible.

Si vous avez encore des questions n'hésitez pas!

Encore une fois c'est un exercice assez calculatoire et très fastidieux de séparer les intervalles, mais bon faut savoir être méthodique, savoir repartir des bases (définition de seconde, comme l'a citée MiMoiMolette) et refaire le chemin tout doucement!
En conclusion, on voit que même toute fonction admettant une valeur absolue qui "englobe" tout le reste (ce qu'il y a dedans pouvant être aussi des valeurs absolues ou non), la fonction restera positive et c'est assez normal, donc pas de prob de ce côté-ci!