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Expression d'un carré



  1. #1
    radinor

    Expression d'un carré

    Bonjour,

    J'ai l'expression suivante : 3a^2 + 3ab + b^2 = c^2

    quelles sont les solutions pour {a,b,c} € N^3 ?

    merci

    -----


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  3. #2
    Gaahh

    Re : Expression d'un carré

    les solutions de l'équation ?

  4. #3
    bubulle_01

    Re : Expression d'un carré

    Etudies modulo 3 tout d'abord.
    Je pense, sans être certain, que l'on peut conclure avec la descente infinie de Fermat (après quelques considérations).
    J'ai quelques trucs à faire, je reviens tout à l'heure, après m'être plus penché dessus

  5. #4
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Es-tu certain que la question est bien de déterminer toutes les solutions de 3a2 + 3ab + b2 = c2 ? Car cela ne me semble pas simple ...

    Une partie (mais une partie seulement) de la solution :
    Soit a un nombre impair supérieur à 6
    b = (a2 - 6a - 3)/4
    c = (a2 + 3)/4
    Alors (a, b, c) est solution de l'équation.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  6. #5
    radinor

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Etudies modulo 3 tout d'abord.
    Je pense, sans être certain, que l'on peut conclure avec la descente infinie de Fermat (après quelques considérations).
    J'ai quelques trucs à faire, je reviens tout à l'heure, après m'être plus penché dessus
    bonjour bubulle-01,

    Peux tu préciser pour étude modulo 3.
    Je ne savais pas ce qu'était la descente infinie et ça va me passionner.

    bonne journée

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    radinor

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Es-tu certain que la question est bien de déterminer toutes les solutions de 3a2 + 3ab + b2 = c2 ? Car cela ne me semble pas simple ...

    Une partie (mais une partie seulement) de la solution :
    Soit a un nombre impair supérieur à 6
    b = (a2 - 6a - 3)/4
    c = (a2 + 3)/4
    Alors (a, b, c) est solution de l'équation.
    bonjoir médiat,

    Puisque tu te penches sur mon problème je te dois quelques explications.
    Cette expression résulte de recherches personnelles et je n'ai donc pas d'impératifs, sauf mon plaisir, de trouver toutes les solutions.
    Je m'intéresse autant à la démarche,qui ,me fait découvrir beaucoup, qu'au résultat. Quant tu dis que c'est difficile c'est que tu as des arguments que j'aimerais connaître.
    De même je n' aurais pas su trouver la solution que tu proposes et j'aimerais savoir comment on arrive à ce résultat.

    Salutations

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  10. #7
    bubulle_01

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par radinor Voir le message
    bonjour bubulle-01,

    Peux tu préciser pour étude modulo 3.
    Je ne savais pas ce qu'était la descente infinie et ça va me passionner.

    bonne journée
    Quand j'ai énoncé la descente infinie, c'était vraiment "au pif". J'avais déja eu à faire avec ce genre d'exo. Néanmoins, je ne pense pas qu'on peut conclure avec celle ci, vu qu'il semble exister des solutions.
    Pour la descente infinie, tu peux te renseigner ici :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_...scente_infinie
    Sinon, pour l'étude modulo 3, maîtrises-tu les congruences ?

  11. #8
    Romain-des-Bois

    Re : Expression d'un carré

    Bonjour,

    il y a une infinité de solutions puisque pour tout entier m, le triplet est solution.

    j'ai pas fait beaucoup avancer les choses là

  12. #9
    taladris

    Re : Expression d'un carré

    On peut commencer par chercher les solutions (a,b,c) où a,b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble car si (a,b,c) est solution, (na,nb,nc) est aussi solution pour tout entier n.

  13. #10
    Romain-des-Bois

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par taladris Voir le message
    On peut commencer par chercher les solutions (a,b,c) où a,b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble car si (a,b,c) est solution, (na,nb,nc) est aussi solution pour tout entier n.
    Très bonne remarque

    J'ai programmé ça sous maple.
    J'élimine directement le cas où a est nul, puisque alors il y a beaucoup de solutions connues.
    Pour et , j'obtiens 42 solutions dont par exemple : - je trouve ça plutôt joli !

    Si on prend cela rajoute 101 solutions, donc 143 solutions pour .

    Romain

  14. #11
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par radinor Voir le message
    j'aimerais savoir comment on arrive à ce résultat.
    Bonjour,
    Par le théorème de Gauss soit , soit
    Pour l'instant je n'ai exploré que la piste :
    Donc
    On peut donc écrire



    , (je m'occuperais des conditions plus tard) en posant et en remplaçant on obtient



    Mais il y a des conditions pour que cela marche :
    (facile)




    En remplaçant successivement n par 1, 2, 3 et 4 on trouve que les conditions de congruence se ramènent à



    (j'avais espéré )
    Il est vrai que fonctionne toujours, mais on rate des solutions
    Et il faut encore explorer l'autre branche : ...

    En espérant ne pas m'être trop planté dans les calculs
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Ooops faute de frappe et je ne peux plus modifier : il faut lire :

    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  17. #13
    bubulle_01

    Re : Expression d'un carré

    On peut aussi éliminer le cas où et sont divisibles par 3, car si c'est le cas, on a :
    et
    soit soit
    soit est divisible par 3 et
    L'équation devient alors :
    soit
    Ainsi est solution de l'équation.
    D'après le théorème de la descente infinie, il n'y a pas de telle solution.
    Ainsi, ni ni n'est multiple de 3.

  18. #14
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par bubulle_01 Voir le message
    Ainsi, ni ni n'est multiple de 3.
    (9, 6, 21) est solution ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Thorin

    Re : Expression d'un carré

    j'ai rien dit..

  20. #16
    bubulle_01

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (9, 6, 21) est solution ...
    Oui, il faut oublier mon message, rien ne dit que et sont eux aussi multiples de .
    On peut juste dire que si et sont multiples de , alors est solution.
    Mea Culpa.

  21. #17
    Thorin

    Re : Expression d'un carré

    Tu ne peux pas utiliser la descente infinie car tu ne sais pas si k, k' sont divisibles par 3.

    Edit : grillé

  22. #18
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Ce que l'on peut démontrer c'est que
    1. si b est divisible par 3 alors c et a aussi (donc pas de solution avec des nombres premiers entre eux)
    2. si c est divisible par 3 alors b et a aussi (donc pas de solution avec des nombres premiers entre eux)
    Par contre si a est divisible par 3 on ne peut rien conclure, d'ailleurs (3, 2, 7) est solution.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  24. #19
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Il est vrai que fonctionne toujours, mais on rate des solutions
    Pour en finir avec cette piste :

    Pour tous k > 2 et pour tous n
    a = n(2k + 1)
    b = n(k2 - 2k - 2)
    c = n(k2 + k + 1)

    (a, b, c) est toujours solution, mais, je le répète, il en manque plein.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    Thorin

    Re : Expression d'un carré

    Je ne comprends pas comment obtenir toutes tes conditions, médiat, tu peux expliquer ?

  26. #21
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    Je ne comprends pas comment obtenir toutes tes conditions, médiat, tu peux expliquer ?
    Comme j'ai écrit pas mal de choses depuis le message de 15h51, est-ce que tu pourrais préciser ta question, je me ferais un plaisir de développer (sauf si tu dis : tout ).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    Thorin

    Re : Expression d'un carré

    dans ton message de 15h51, comment sait-on qu'on doit avoir a² multiple de n, par exemple ?

  28. #23
    bubulle_01

    Re : Expression d'un carré

    Car est entier donc soit

  29. #24
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par Thorin Voir le message
    dans ton message de 15h51, comment sait-on qu'on doit avoir a² multiple de n, par exemple ?
    La condition et comme c doit être un nombre entier, il suffit d'étudier la congruence de modulo n et tu trouves

    [EDIT]trop tard[/EDIT]
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  31. #25
    Thorin

    Re : Expression d'un carré

    Merci.....

  32. #26
    radinor

    Re : Expression d'un carré

    Bonjour Médiat,

    Il faudrait que j'apprenne à parler LaTeX et j'espère le faire bientôt.
    J'ai étudié ton développement et j'ai quelques lacunes mathématiques.
    Je connais le théorème de Gauss mais ne comprends pas l'application que tu en fais.
    Je n'ai pas compris a^2 est congru à 0 modulo n et aussi n(n+a) est congru à 0 modulo 2.

    On vérifie facilement la validité de cette partie de solution.
    Je précise qu'effectivement ce qui m'intéresse ce sont les solutions avec a > 0

    Merci et salutations

  33. #27
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Citation Envoyé par radinor Voir le message
    Je n'ai pas compris a^2 est congru à 0 modulo n et aussi n(n+a) est congru à 0 modulo 2.
    Salut,
    Désolé de te répondre si tard, mais je n'avais pas vu passer ta question.
    En essayant d'y répondre proprement ce matin je me suis aperçu d'une faute de frappe (un a qui se transforme en n) qui malheureusement n'a pas d'impact sur la solution que je proposais au message # 19 (qui est un cas particulier).
    J'ai donc refait les calculs :
    A partir de


    Mais il faut que b et c soit des entiers, en étudiant la divisibilité de par n on obtient
    (1)


    en étudiant la divisibilité par 4 on obtient :


    (2)


    En étudiant la divisibilité par 4 on obtient :



    (3)
    Il est clair que (3) entraîne (2) les conditions sont donc :
    (1)
    (3)
    (3) permet d'écrire a = 2k + n
    en remplaçant on obtient :


    (1) devient :
    (1)
    Ce qui peut se traduire (en décomposant n en facteur premier, et ne sont pas uniques (on pourrait imposer que soit un produit de nombres premiers tous différents pour assurer l'unicité, mais ce n'est pas utile) :


    en remplaçant on obtient (pour tous ):




    Si quelqu'un veut bien vérifier (je serais étonné de ne pas avoir fait de faute de calcul

    Il faudrait faire aussi l'autre possibilité pour la divisibilité par 3 (le théorème de Gauss dit que si un produit est divisible par un nombre premier alors l'un des facteurs est divisible par ce nombre premier)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    Médiat

    Re : Expression d'un carré

    Sauf erreur, avec l'autre branche on trouve les mêmes valeurs pour a et c, l'ensemble des solutions serait donc :

    ou


    Si quelqu'un veut bien vérifier (je serais étonné de ne pas avoir fait de faute de calcul
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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