Expression d'un carré

invite743cfa65 · 19/08/2008, 10h16

Bonjour,

J'ai l'expression suivante : 3a^2 + 3ab + b^2 = c^2

quelles sont les solutions pour {a,b,c} € N^3 ?

merci

invitec65ca054 · 19/08/2008, 11h03

les solutions de l'équation ?

**bubulle_01** · 19/08/2008, 12h15

Etudies modulo 3 tout d'abord.
Je pense, sans être certain, que l'on peut conclure avec la descente infinie de Fermat (après quelques considérations).
J'ai quelques trucs à faire, je reviens tout à l'heure, après m'être plus penché dessus

**Médiat** · 21/08/2008, 08h56

Es-tu certain que la question est bien de déterminer toutes les solutions de 3a² + 3ab + b² = c² ? Car cela ne me semble pas simple ...

Une partie (mais une partie seulement) de la solution :
Soit a un nombre impair supérieur à 6
b = (a² - 6a - 3)/4
c = (a² + 3)/4
Alors (a, b, c) est solution de l'équation.

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invite743cfa65 · 21/08/2008, 13h43

Envoyé par bubulle_01

Etudies modulo 3 tout d'abord.
Je pense, sans être certain, que l'on peut conclure avec la descente infinie de Fermat (après quelques considérations).
J'ai quelques trucs à faire, je reviens tout à l'heure, après m'être plus penché dessus

bonjour bubulle-01,

Peux tu préciser pour étude modulo 3.
Je ne savais pas ce qu'était la descente infinie et ça va me passionner.

bonne journée

invite743cfa65 · 21/08/2008, 13h55

Envoyé par Médiat

Es-tu certain que la question est bien de déterminer toutes les solutions de 3a² + 3ab + b² = c² ? Car cela ne me semble pas simple ...

Une partie (mais une partie seulement) de la solution :
Soit a un nombre impair supérieur à 6
b = (a² - 6a - 3)/4
c = (a² + 3)/4
Alors (a, b, c) est solution de l'équation.

bonjoir médiat,

Puisque tu te penches sur mon problème je te dois quelques explications.
Cette expression résulte de recherches personnelles et je n'ai donc pas d'impératifs, sauf mon plaisir, de trouver toutes les solutions.
Je m'intéresse autant à la démarche,qui ,me fait découvrir beaucoup, qu'au résultat. Quant tu dis que c'est difficile c'est que tu as des arguments que j'aimerais connaître.
De même je n' aurais pas su trouver la solution que tu proposes et j'aimerais savoir comment on arrive à ce résultat.

Salutations

**bubulle_01** · 21/08/2008, 14h51

Envoyé par radinor

bonjour bubulle-01,

Peux tu préciser pour étude modulo 3.
Je ne savais pas ce qu'était la descente infinie et ça va me passionner.

bonne journée

Quand j'ai énoncé la descente infinie, c'était vraiment "au pif". J'avais déja eu à faire avec ce genre d'exo. Néanmoins, je ne pense pas qu'on peut conclure avec celle ci, vu qu'il semble exister des solutions.
Pour la descente infinie, tu peux te renseigner ici :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre_...scente_infinie
Sinon, pour l'étude modulo 3, maîtrises-tu les congruences ?

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 15h01

Bonjour,

il y a une infinité de solutions puisque pour tout entier m, le triplet $\text{[math]}$ est solution.

j'ai pas fait beaucoup avancer les choses là

invite14e03d2a · 21/08/2008, 15h07

On peut commencer par chercher les solutions (a,b,c) où a,b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble car si (a,b,c) est solution, (na,nb,nc) est aussi solution pour tout entier n.

inviteaeeb6d8b · 21/08/2008, 15h24

Envoyé par taladris

On peut commencer par chercher les solutions (a,b,c) où a,b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble car si (a,b,c) est solution, (na,nb,nc) est aussi solution pour tout entier n.

Très bonne remarque

J'ai programmé ça sous maple.
J'élimine directement le cas où a est nul, puisque alors il y a beaucoup de solutions connues.
Pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , j'obtiens 42 solutions dont par exemple : $\text{[math]}$ - je trouve ça plutôt joli !

Si on prend $\text{[math]}$ cela rajoute 101 solutions, donc 143 solutions pour $\text{[math]}$ .

Romain

**Médiat** · 21/08/2008, 15h51

Envoyé par radinor

j'aimerais savoir comment on arrive à ce résultat.

Bonjour,
$\text{[math]}$ Par le théorème de Gauss soit $\text{[math]}$ , soit $\text{[math]}$
Pour l'instant je n'ai exploré que la piste $\text{[math]}$ :
Donc $\text{[math]}$
On peut donc écrire
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , (je m'occuperais des conditions plus tard) en posant $\text{[math]}$ et en remplaçant on obtient

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Mais il y a des conditions pour que cela marche :
$\text{[math]}$ (facile)
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
En remplaçant successivement n par 1, 2, 3 et 4 on trouve que les conditions de congruence se ramènent à
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ (j'avais espéré $\text{[math]}$ )
Il est vrai que $\text{[math]}$ fonctionne toujours, mais on rate des solutions
Et il faut encore explorer l'autre branche : $\text{[math]}$ ...

En espérant ne pas m'être trop planté dans les calculs

**Médiat** · 21/08/2008, 15h55

Ooops faute de frappe et je ne peux plus modifier : il faut lire :

$\text{[math]}$

**bubulle_01** · 21/08/2008, 16h44

On peut aussi éliminer le cas où $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont divisibles par 3, car si c'est le cas, on a :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
soit $\text{[math]}$ est divisible par 3 et $\text{[math]}$
L'équation devient alors :
$\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
Ainsi $\text{[math]}$ est solution de l'équation.
D'après le théorème de la descente infinie, il n'y a pas de telle solution.
Ainsi, ni $\text{[math]}$ ni $\text{[math]}$ n'est multiple de 3.

**Médiat** · 21/08/2008, 17h00

Envoyé par bubulle_01

Ainsi, ni $\text{[math]}$ ni $\text{[math]}$ n'est multiple de 3.

(9, 6, 21) est solution ...

invitec317278e · 21/08/2008, 17h06

j'ai rien dit..

**bubulle_01** · 21/08/2008, 17h11

Envoyé par Médiat

(9, 6, 21) est solution ...

Oui, il faut oublier mon message, rien ne dit que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont eux aussi multiples de $\text{[math]}$ .
On peut juste dire que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont multiples de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ est solution.
Mea Culpa.

invitec317278e · 21/08/2008, 17h12

Tu ne peux pas utiliser la descente infinie car tu ne sais pas si k, k' sont divisibles par 3.

Edit : grillé

**Médiat** · 21/08/2008, 17h15

Ce que l'on peut démontrer c'est que

si b est divisible par 3 alors c et a aussi (donc pas de solution avec des nombres premiers entre eux)
si c est divisible par 3 alors b et a aussi (donc pas de solution avec des nombres premiers entre eux)

Par contre si a est divisible par 3 on ne peut rien conclure, d'ailleurs (3, 2, 7) est solution.

**Médiat** · 21/08/2008, 17h41

Envoyé par Médiat

Il est vrai que $\text{[math]}$ fonctionne toujours, mais on rate des solutions

Pour en finir avec cette piste :

Pour tous k > 2 et pour tous n
a = n(2k + 1)
b = n(k² - 2k - 2)
c = n(k² + k + 1)

(a, b, c) est toujours solution, mais, je le répète, il en manque plein.

invitec317278e · 21/08/2008, 17h46

Je ne comprends pas comment obtenir toutes tes conditions, médiat, tu peux expliquer ?

**Médiat** · 21/08/2008, 17h49

Envoyé par Thorin

Je ne comprends pas comment obtenir toutes tes conditions, médiat, tu peux expliquer ?

Comme j'ai écrit pas mal de choses depuis le message de 15h51, est-ce que tu pourrais préciser ta question, je me ferais un plaisir de développer (sauf si tu dis : tout

).

invitec317278e · 21/08/2008, 17h54

dans ton message de 15h51, comment sait-on qu'on doit avoir a² multiple de n, par exemple ?

**bubulle_01** · 21/08/2008, 17h59

Car $\text{[math]}$ est entier donc $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$

**Médiat** · 21/08/2008, 18h01

Envoyé par Thorin

dans ton message de 15h51, comment sait-on qu'on doit avoir a² multiple de n, par exemple ?

La condition $\text{[math]}$ et comme c doit être un nombre entier, il suffit d'étudier la congruence de $\text{[math]}$ modulo n et tu trouves $\text{[math]}$

[EDIT]trop tard[/EDIT]

invitec317278e · 21/08/2008, 18h08

Merci.....

invite743cfa65 · 25/08/2008, 17h24

Bonjour Médiat,

Il faudrait que j'apprenne à parler LaTeX et j'espère le faire bientôt.
J'ai étudié ton développement et j'ai quelques lacunes mathématiques.
Je connais le théorème de Gauss mais ne comprends pas l'application que tu en fais.
Je n'ai pas compris a^2 est congru à 0 modulo n et aussi n(n+a) est congru à 0 modulo 2.

On vérifie facilement la validité de cette partie de solution.
Je précise qu'effectivement ce qui m'intéresse ce sont les solutions avec a > 0

Merci et salutations

**Médiat** · 28/08/2008, 10h42

Envoyé par radinor

Je n'ai pas compris a^2 est congru à 0 modulo n et aussi n(n+a) est congru à 0 modulo 2.

Salut,
Désolé de te répondre si tard, mais je n'avais pas vu passer ta question.
En essayant d'y répondre proprement ce matin je me suis aperçu d'une faute de frappe (un a qui se transforme en n) qui malheureusement n'a pas d'impact sur la solution que je proposais au message # 19 (qui est un cas particulier).
J'ai donc refait les calculs :
A partir de
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Mais il faut que b et c soit des entiers, en étudiant la divisibilité de $\text{[math]}$ par n on obtient
$\text{[math]}$ (1)

$\text{[math]}$
en étudiant la divisibilité par 4 on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ (2)

$\text{[math]}$
En étudiant la divisibilité par 4 on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ (3)
Il est clair que (3) entraîne (2) les conditions sont donc :
$\text{[math]}$ (1)
$\text{[math]}$ (3)
(3) permet d'écrire a = 2k + n
en remplaçant on obtient :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
(1) devient :
$\text{[math]}$ (1)
Ce qui peut se traduire (en décomposant n en facteur premier, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ne sont pas uniques (on pourrait imposer que $\text{[math]}$ soit un produit de nombres premiers tous différents pour assurer l'unicité, mais ce n'est pas utile) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
en remplaçant on obtient (pour tous $\text{[math]}$ ):
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si quelqu'un veut bien vérifier (je serais étonné de ne pas avoir fait de faute de calcul

Il faudrait faire aussi l'autre possibilité pour la divisibilité par 3 (le théorème de Gauss dit que si un produit est divisible par un nombre premier alors l'un des facteurs est divisible par ce nombre premier)

**Médiat** · 28/08/2008, 12h20

Sauf erreur, avec l'autre branche on trouve les mêmes valeurs pour a et c, l'ensemble des solutions serait donc :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si quelqu'un veut bien vérifier (je serais étonné de ne pas avoir fait de faute de calcul

Expression d'un carré

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