Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider pour un problème de récurrence ?

[invite51f609d2]

Bonjour,
Je suis pas forcément douée en maths, mais ça ne part pas d'une mauvaise volonté
J'ai cherché comme une folle (surement trop compliqué comme d'habitude) pendant des heures sur ce problème... :

Pour tout entier naturel n non nul, on pose :
S_n = 1/(2*3*4) + 1/(2*3*4) + ...+ 1/[n(n+1)(n+2)].

1) Démontrer par récurrence que :
pour tout n appartient à N, Sn = [n(n+3)] / 4(n+1)(n+2).

2) En déduire la limite en +l'infini de S_n.
(Bon ça je crois que je l'ai... ça devrait être 1/4)

Si quelqu'un pouvait m'aider...
merci
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[invitea3eb043e]

Comment passe-t-on de Sn à S(n+1) ?
Tu supposes que Sn s'écrit comme on te dit après avoir vérifié que c'est bon pour n=1 et tu calcules S(n+1).
En triturant l'expression de S(n+1), tu dois pouvoir la mettre sous la forme
(n+1) (n+4)/ [4(n+2)(n+3)] qui est de la même forme que Sn en ayant remplacé n par n+1

[invite51f609d2]

Merci, mais ça je le savais aussi... C'est justement le bidouillage qu'il me manque ! Je ne sais pas comment arriver au résultat !

En plus, j'ai plus bcp de tps pour y répondre... C'est à rendre pour demain !

[invitea3eb043e]

S(n+1) c'est Sn + 1/[(n+1)(n+2)(n+3)]
Tu remplaces Sn par l'expression qu'on te donne : n(n+3)/[4(n+1)(n+2)]

Tu effectues en réduisant au même dénominateur, etc...

Reste à vérifier que ça vaut bien (n+1)(n+4)/[4(n+2)(n+3)]

ce qui se fait sans difficulté. C'est un peu lourd mais pas compliqué. Il y a une simplification par (n+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51f609d2]

Merci JeanPaul ! Je vais essayer ça ...