Nombres complexes

[invitefc63e038]

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice

énoncé :
dans un plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O;u;v) , on désigne par A et B les points d'affixes respectives 1 et i.

Etant donné un complexe z différent de i, on pose z'= (z-1)/(i-z).

1) déterminer les parties réelles et imaginaire de z' en fonction de celles de z
Déterminez et construire l'ensemble des points M dont l'affixe z est telle que z' soit imaginaire pur.

2) Déterminer géométriquement et construire l'ensemble des points M tels que ⎮z'⎮ = 1 .

J'ai trouvé Re(z)=(x(x-1)-y(y-1))/(x²+(1-y)²)

et Im(z)=(-x-y+1)/(x²+(1-y)²)

Je sait que pour que z' soit imaginaire pur il faut que Re(z')=0

et à partir d'ici je ne sait plus comment faire car je tombe sur des valeurs qui ne sont pas des entiers.

J'aurais besoin de votre aide.

Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Je vois un petit souci de signe pour la partie réelle, mais où est ton problème pour dire qu'elle est nulle ? Ca fait une équation du type x²+y² + a x + b y + c = 0 et en changeant d'origine on trouve un cercle, ce qui s'explique par la géométrie de manière assez simple..
Ensuite pour dire que le module de z' vaut 1, tu as avantage à dire que cela est équivalent à dire que le carré du module du numérateur est égal au carré du module du dénominateur. Et ça donne quelque chose de similaire.

[invitefc63e038]

merci pour ces informations ... mais j'ai déjà refais de nombreuses fois ce calcul et je ne vois pas mon erreur de signe ! pourriez vous m'indiquer qu'elle est l'erreur..merci d'avance

[invitefc63e038]

en fait je viens de trouver mon erreur... mais je me retrouve avec une équation de cercle suivante : -((x-1/2)²-1/4+(y-1/2)²-1/4)=0 et donc je trouve un rayon de 1/(racine de)2 ... cela me semble assez étrange , est ce résultat ? merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Pas si étrange que ça, la géométrie qu'on n'enseigne plus parce que c'est trop facile dirait que c'est un cercle dont le diamètre est le segment AB où a a l'affixe 1 et B l'affixe i et ça fait ce que tu dis.