DM de sp maths

[invitecea1b42a]

cela fait plus de 2 h que je cherche la solution mais sans y parvenir

Déterminer les restes des divisions de N par 37, 13, 7, 11, 9 avec
N= (742 371 149175 442 539 889 145 )^10

^10 veut dire puissance 10
merci d'avance pour votre aide
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[Jeanpaul]

La division par 9 laisse un reste congru à la somme des chiffres.
La division par 11 laisse un reste congru à la somme des chiffres impairs moins la somme des chiffres pairs.
Pour les autres cas c'est moins simple mais par exemple pour 7 tu peux remplacer les groupes de 6 chiffres par leur congruence modulo 7 (utilise ta calculette) et ensuite tu vois combien vaut 1 000 000 modulo 7.
Tu regroupes les paquets de 6 et tu finis par un nombre inférieur à 7 que tu peux élever à la puissance 10.
Pareil pour 13 et 37

[NicoEnac]

Petit indice :
37 = 0 modulo 37 (logique )
donc 20 064 085 112 849 798 375 382 x 37 = 0 modulo 37
d'où 20 064 085 112 849 798 375 382 x 37 + 11 = 11 modulo 37

Or 20 064 085 112 849 798 375 382 x 37 + 11 = 742 371 149175 442 539 889 145

donc 742 371 149175 442 539 889 145 = 11 modulo 37

11² = 121 = 10 modulo 37

=> 742 371 149175 442 539 889 145² = 10 modulo 37

10^5 = 100000 = 26 modulo 37

Ainsi (742 371 149175 442 539 889 145²)^5 = 26 modulo 37

Je te laisse deviner pour la suite...

[Jeanpaul]

Or 20 064 085 112 849 798 375 382 x 37 + 11 = 742 371 149175 442 539 889 145

Et tout cela de tête SVP !

[A voir en vidéo sur Futura]

[NicoEnac]

Pas vraiment de tête....C'est juste une division euclidienne...

J'avoue que sans calculatrice c'est chaud mais il n'était pas précisé que le calcul devait être fait sans ! C'est sûr qu'alors, ça devient une autre histoire

Je crois qu'en spé maths en terminale on utilisait une autre méthode mais je ne m'en souviens pas. Suggestion Jeanpaul ?

[Jeanpaul]

Bon, je plaisantais, évidemment. Il ne me paraissait pas évident qu'une calculatrice accepte tant de chiffres alors je suggérais de décomposer le nombre en multiples de 10^6, 10^12, etc... accessibles aux calculettes simples.
On faisait alors les congruences comme d'habitude sans risque de dépassement de capacité.
De tête ou à la main, bien sûr que non.

[NicoEnac]

Bon, je plaisantais, évidemment.
On faisait alors les congruences comme d'habitude sans risque de dépassement de capacité.
De tête ou à la main, bien sûr que non.

Je l'avais compris

De toute façon, toute critique est bonne à prendre.

alors je suggérais de décomposer le nombre en multiples de 10^6, 10^12, etc... accessibles aux calculettes simples..

C'est une bonne idée, et plus simple et accessible que la mienne. Surtout quand on s'aperçoit que 1000 = 1 [37]. Donc bien vu !