Limites de suite

[invite3906bc70]

Bonsoir à tous.

Voila j'ai pratiquement fini mon exo de mathématiques, mais je bloque à une dernière petite question
Voici l'exo:

Soit g(x) = ( x + sin x ) / (2 - sin x )

a) Montrer que x - 1 < x + sin x < x + 1 et que 1/ 3 < 1 / 2 - sin x < 1

b) En déduire un encadrement de g(x) pour x > 1

c) Determiner limite de g (x) en + l'infini.

Voila donc la a) , no soucis!. La c) non plus, je trouve que g(x) tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini.

Mais je suis bloqué sur la 2 ...


Merci d'avance, cordialement, gaetan
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[Arkangelsk]

Bonsoir,

Je crois que tu as oublié des parenthèses :

a) Montrer que x - 1 < x + sin x < x + 1 et que 1/ 3 < 1 / (2 - sin x) < 1

b) En déduire un encadrement de g(x) pour x > 1

Deux petites indications :

- Comment utiliser les deux inégalités précédentes pour obtenir un encadrement de ?
- Pourquoi prend-on ?

[invite3906bc70]

Bonsoir,

Je crois que tu as oublié des parenthèses :






Deux petites indications :

- Comment utiliser les deux inégalités précédentes pour obtenir un encadrement de ?
- Pourquoi prend-on ?

Tout simplement parce que les elements encadrés de x-1 < x + sin x < x + 1 et 1 / 3 < 1 / ( 2 - sin x ) < 1 correspondent respectivement au numérateur et au dénominateur de g(x). On peut donc faire en faite (x-1 < x + sin x < x + 1)/ ( 1 < 2 - sin x < 3). Vous voyez ce que je veux dire?

POurquoi x > 1? Aucune idée...

[Arkangelsk]

Tout simplement parce que les elements encadrés de x-1 < x + sin x < x + 1 et 1 / 3 < 1 / ( 2 - sin x ) < 1 correspondent respectivement au numérateur et au dénominateur de g(x). On peut donc faire en faite (x-1 < x + sin x < x + 1)/ ( 1 < 2 - sin x < 3). Vous voyez ce que je veux dire?

Oui, mais c'est très mal écrit : une division entre deux inégalités ... Quand tu as un encadrement de ce type, il est conseillé d'étudier chaque inégalité séparément.

On va donc prendre en premier :

et

Il semble logique de multiplier membre à membre :

et implique

POurquoi x > 1? Aucune idée...

C'est très important. Il faut s'assurer que les facteurs sont tous positifs :

Contre-exemple dans le cas contraire. On a : et et pourtant x>x!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3906bc70]

Ok je pense avoir trouver

Donc en fait on a x - 1 < x + sinx < x + 1
1/3 < 1/(2-sinx) < 1

Au final on a donc (x - 1 ) * 3 < g(x) < (x + 1 ) * 1

Et lorsque je fais des petites vérifications avec ma calculatrice, cela me semble exact!!

[Arkangelsk]

Bonjour,

Ok je pense avoir trouver

Donc en fait on a x - 1 < x + sinx < x + 1
1/3 < 1/(2-sinx) < 1

Au final on a donc (x - 1 ) / 3 < g(x) < (x + 1 ) * 1

Et lorsque je fais des petites vérifications avec ma calculatrice, cela me semble exact!!

Oui, mis à part que c'est (x - 1 ) / 3. N'oublie pas de préciser que tous tes nombres sont bien positifs.