Exo tip pour controle de math

[yuik 78]

Bonjours a tous , je suis nouveau ici , je trouve que vous faite du bon travail et c'est pour ca je viens pour vous demander votre aide car j'ai un controle lundi et notre prof nous a dit q'on aurait un exo comme ca :

u1= 1 et un+1 = 1/2+un

1)Montrer que pour tout entier naturel n on a un>0
On a une fonction f définie sur [0;+oo] par : 1/2+x

a) Representer alors graphiquement sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de (un)
b) Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation et sur la convergence de (un) ?
c)Trouver et calculer l'unique réel a qui vérifie f(a) = a
d) Prouver que pour n>0 on a un+1 - a = un - a/(2+a)(2+un)
e) en deduire que pour n>0 on a :

valeur absolue de un+1 - a <(1/4) de valeur absolue de un - a
f) montrer par récurrence que un - a <(1/4)^n

Réponse

1) j'ai utiliser la récurrence et sa marche
a) u2 = 1/3; u3 = 3/7; u4 = 7/17 et u5 = 17/41 on a u1<u3<u4<u2.

b) On peut penser que la fonction n'est ni décroissante ni croissante et quelle converge vers pas vers 0 ni vers +oo

c) Je pense qu'on doit utiliser le tvi mais pour tout le reste je suis completement largué ( c.à.d pour le d),e),f))

J'espere vraiment que vous pourrai m'aider avant lundi sinon je suis mal
Merci d'avance
-----

[VegeTal]

salut, le plus simple est de remarquer que c'est une suite arithmétique ça te facilitera grandement la vie pour la convergence, la limite etc...

En autre : ça évite la récurrence (qui parait un peu une méthode de bourrin au vue de la nature de )

-attention ! une fonction est soit croissante, soit décroissante, soit constante...

on ne dit pas qu'une fonction converge, on dit qu'une suite converge. on ne dit pas qu'une suite converge vers on dit qu'elle diverge !

c) ton camarade a posé la même question j'arrive toujours pas à comprendre comment on peut trouver vu que ça revient à résoudre ....

Par contre on peut trouver

d) et e) on verra d'ici là.

P.S : tu es en quel classe ?

[Flyingsquirrel]

Salut et bienvenue,

j'ai un controle lundi et notre prof nous a dit q'on aurait un exo comme ca

Ben au moins vous ne serez pas surpris...

u1= 1 et un+1 = 1/2+un

Faut-il comprendre ? Vu le reste de l'exercice, je pense que oui...

1)Montrer que pour tout entier naturel n on a un>0
On a une fonction f définie sur [0;+oo] par : 1/2+x

a) Representer alors graphiquement sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de (un)
b) Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation et sur la convergence de (un) ?
c)Trouver et calculer l'unique réel a qui vérifie f(a) = a
d) Prouver que pour n>0 on a un+1 - a = un - a/(2+a)(2+un)
e) en deduire que pour n>0 on a :

valeur absolue de un+1 - a <(1/4) de valeur absolue de un - a
f) montrer par récurrence que un - a <(1/4)^n

Réponse

1) j'ai utiliser la récurrence et sa marche
a) u2 = 1/3; u3 = 3/7; u4 = 7/17 et u5 = 17/41 on a

D'accord.

u1<u3<u4<u2.

Si l'on remplace tous les signes < par >, c'est bon...

b) On peut penser que la fonction n'est ni décroissante ni croissante

D'accord. Par contre on ne parle pas d'une fonction mais d'une suite.

et quelle converge vers pas vers 0 ni vers +oo

Oui... On te demande plutôt de dire si la suite converge ou non. Si tu ne vois pas quoi répondre, reprend la question "a" mais cette fois place les 6 ou les 8 premiers de la suite sur l'axe des abscisses.

c) Je pense qu'on doit utiliser le tvi mais pour tout le reste je suis completement largué ( c.à.d pour le d),e),f))

Pour la question "c" on te demande simplement de résoudre c'est-à-dire ... (si tu ne vois pas quoi faire, remarque que doit être différent de -2 et multiplie les deux côtés de l'égalité par )

Pour la question "d", doit-on comprendre ou autre chose ?

[yuik 78]

merci pour tout ces reponses, pour le d) c'est en faite : un+1 = (un - a)/(2+a)(2+un)

[A voir en vidéo sur Futura]

[yuik 78]

pour le c) je suis ce que tu m'a dis et je trouve :
1= a(2+a) d'ou 2a+a² -1 = 0 mais aprés comment faire j'ai essayé de résoudre le trinome mais je suis pas sur que se soi ca

[yuik 78]

merci pour tout ces reponses, pour le d) c'est en faite : un+1 - a = (un - a)/(2+a)(2+un)

je me suis trompé c'est u_n+1 - a = (un -a )/(2+a)(2+u_n)

[Flyingsquirrel]

pour le c) je suis ce que tu m'a dis et je trouve :
1= a(2+a) d'ou 2a+a² -1 = 0 mais aprés comment faire j'ai essayé de résoudre le trinome mais je suis pas sur que se soi ca

Pourquoi est-ce que ça ne serait pas ça ? Normalement on trouve une racine positive et une racine négative... mais une seule des deux correspond à . Il faut se servir de l'énoncé pour savoir laquelle on garde.

je me suis trompé c'est u_n+1 - a = (un -a )/(2+a)(2+u_n)

Il suffit d'utiliser la définition de et de ( et ) pour exprimer .

[yuik 78]

pour le d je fais et je trouve (a - un)/(2+a)(2+un) et je vois pa ou je me suis trompé

[Flyingsquirrel]

je vois pa ou je me suis trompé

Moi non plus. Je pense qu'il y a une erreur de signe dans l'énoncé. De toute façon ça n'a pas d'importance pour la suite vu que l'on va travailler avec des valeurs absolues.

[yuik 78]

c bon j'ai reussi pour le d) merci pour ton aide
mais pour le reste je réflechis et j'arrive pas a trouver le bon raisonnement

[Flyingsquirrel]

Pour la question "d", on sait que donc .

Or notre but est de prouver que autrement dit que ... Ça devrait te mettre sur la voie

[yuik 78]

Si je dis que (2+a)(2+u_n) > 4 alors :
(u_n - a )/(2+a)(2+u_n) < (u_n - a)/ 4. Sa suffit non?

[Flyingsquirrel]

Il ne suffit pas de le dire, il faut prouver que !

[yuik 78]

Quand on developpe ca fait : (2+a)(2+u_n) = 4+ 2u_n +2a+au_n

Sachant que u_n>0 et "a" aussi, la somme de tous ces termes est obligatoirement >4

Donc (un - a )/(2+a)(2+un) < (un - a)/ 4
Et là c'est bon ou pas?

[Flyingsquirrel]

Donc (un - a )/(2+a)(2+un) < (un - a)/ 4
Et là c'est bon ou pas?

Presque, il manque les valeurs absolues : .

[yuik 78]

ok merci, j'ai essayé de faire le f)

[yuik 78]

Ca fait un bout de temps que je suis suis sur cette fichu récurrence et j'arrive pas a trouver :
j'ai essayé pour l'hérédité : u_n< (1/4)ⁿ/
Après je multiplie par (1/4) on a donc :
u_n - a/4 < (1/4)ⁿ⁺¹
Aprés je bloque donc je pense que c'est faux

Par contre pour revenir au c) on a : a²+2a - 1 = 0 donc delta fait 8 deux solutions :
x₁ = (-b+2√2)/2 = ( -1+ 2√2)/2

x₂ = (-b - 2√2)/2 = (-1 - 2√2)/2

Donc "a" est égale a x₁ car "a" doit apartenir a [0;+oo[
C'est juste ca ?

[Flyingsquirrel]

Ca fait un bout de temps que je suis suis sur cette fichu récurrence et j'arrive pas a trouver :
j'ai essayé pour l'hérédité : u_n< (1/4)ⁿ/
Après je multiplie par (1/4) on a donc :
u_n - a/4 < (1/4)ⁿ⁺¹
Aprés je bloque donc je pense que c'est faux

Et si tu essayais d'utiliser ce que l'on a montré à la question "e" : pour tout , ?

Par contre pour revenir au c) on a : a²+2a - 1 = 0 donc delta fait 8 deux solutions :
x₁ = (-b+2√2)/2 = ( -1+ 2√2)/2

x₂ = (-b - 2√2)/2 = (-1 - 2√2)/2

Donc "a" est égale a x₁ car "a" doit apartenir a [0;+oo[
C'est juste ca ?

Presque, vaut 2, pas 1.

[yuik 78]

donc ensuite s'enchaine en disant que sachant u_n+1 - a < (u_n - a)/4 on en déduit que u_n+1 - a <(1/4)ⁿ⁺¹

Donc la prposition est vraie pour tout entier naturel n
C'est bon si s'enchaine avec ca

[Flyingsquirrel]

C'est bon si s'enchaine avec ca

Oui mais j'ai l'impression qu'il manque des valeurs absolues dans l'énoncé et dans ce que tu as écrit. Le but est bien de montrer ?

[yuik 78]

oui c'est vrai pardon, merci pour ton n'aide