exercices:limites

**sabinesabine** · 17/11/2008, 16h49

bonsoir

j'ai un controle demain sur les limites voilà un exercice dont je ne sais pas résoudre et que le prof n'a pas corriger mais j'ai comme même essayé ,pouvez vous me le corriger svp merci le voici:

a) f(x)=(racine de (x - 4) - 1)/( x - 5 ) en a = 5
lim quand x tend vers 5 de (racine de (x - 4) - 1)=0
lim quand x tend vers 5 de ( x - 5 )=0
donc forme indeterminé
f(x)=(racine de (x - 4) - 1)(racine de (x - 4) + 1)/( x - 5 ) (racine de (x - 4) + 1)
f(x)=((x - 4)² - 1²)/( x - 5 )=(x² - 8x+15)/( x - 5 )
aprés là je suis embeté car sa donne encore une forme indeterminé

b)f(x)=(cos (pi x))/(2x - 1) en a=1/2
c)f(x)=((racine de 5x² +5) - 5)/( - 2 - x) en a= - 2
d)f(x)=(tan (pi x ) - 1)/(4x - 1) en a=1/4

je suis là encore trés embété car il ya toujours la forme indeterminée

merci de votre aide

**VegeTal** · 17/11/2008, 16h55

Bonsoir, tout ton exo marche de la même manière :

essaye dans chaque cas de te rapporter à $\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ judicieusement choisies.

que peux tu dire de la limite de cette expression quand $\text{[math]}$ tends vers $\text{[math]}$ ?

**sabinesabine** · 17/11/2008, 17h02

a) f(x)=(racine de (x - 4) - 1)/( x - 5 ) en a = 5
(f(x) - f(a))/(x -a)=(racine de (x - 4) - 1)/( x - 5 )) - 0/(x -5)=(racine de (x - 4) - 1)

est ce que pour le premiére c'est ça?

**VegeTal** · 17/11/2008, 17h05

petite confusion j'aurais du mettre trouve une fonction $\text{[math]}$ et un point $\text{[math]}$ tels que :

$\text{[math]}$
que peux tu dire de $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ est dérivable en $\text{[math]}$ ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Duke Alchemist** · 17/11/2008, 17h10

Bonsoir.

Envoyé par sabinesabine

a) f(x)=(racine de (x - 4) - 1)/( x - 5 ) en a = 5
lim quand x tend vers 5 de (racine de (x - 4) - 1)=0
lim quand x tend vers 5 de ( x - 5 )=0
donc forme indeterminée
f(x)=(racine de (x - 4) - 1)(racine de (x - 4) + 1)/( x - 5 ) (racine de (x - 4) + 1)
f(x)=((x - 4)² - 1²)/( x - 5 )=(x² - 8x+15)/( x - 5 )
aprés là je suis embeté car sa donne encore une forme indeterminée

Comment as-tu obtenu l'expression en gras ?

b)f(x)=(cos (pi x))/(2x - 1) en a=1/2
c)f(x)=((racine de 5x² +5) - 5)/( - 2 - x) en a= - 2
d)f(x)=(tan (pi x ) - 1)/(4x - 1) en a=1/4

je suis là encore trés embétée (non ?) car il ya toujours la forme indeterminée

Pourrais-tu me dire l'intérêt de l'exercice si c'était trivial ?

J'ai souvenir d'une discussion récente sur des limites très semblables...
VegeTal pourrait confirmer il me semble

Duke.

EDIT : http://forums.futura-sciences.com/ma...-corriger.html

**VegeTal** · 17/11/2008, 17h21

aller j'en fais un avec toi pour te monter qu'il n'y a vraiment aucune difficultés :

$\text{[math]}$

on pose $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ devient

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$ est dérivable en 5 et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

**hhh86** · 17/11/2008, 17h56

Envoyé par VegeTal

aller j'en fais un avec toi pour te monter qu'il n'y a vraiment aucune difficultés :

$\text{[math]}$

on pose $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ devient

$\text{[math]}$

or $\text{[math]}$ est dérivable en 5 et $\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$

Non il n'y a rien de compliqué
J'ai une autre méthode autrement qui est équivalente

$\text{[math]}$
On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\text{[math]}$
On a donc :
$\text{[math]}$
<==> $\text{[math]}$
<==> $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

**Duke Alchemist** · 17/11/2008, 17h58

Sinon, comme tu étais partie pour la première mais sans faire des "trucs bizarres" :

$\text{[math]}$ (on peut simplifier car x est différent de 5)

La limite de f(x) en 5 est bien 1/2.

Choisis la méthode qui te convient le mieux

Duke.

**hhh86** · 17/11/2008, 18h06

Envoyé par Duke Alchemist

Sinon, comme tu étais partie pour la première mais sans faire des "trucs bizarres" :

$\text{[math]}$ (on peut simplifier car x est différent de 5)

La limite de f(x) en 5 est bien 1/2.

Choisis la méthode qui te convient le mieux

Duke.

comment ça sans faire de trucs bizarres ?

**VegeTal** · 17/11/2008, 18h12

allez je défends ma méthode

l'avantage : rapide, et simple, elle permet de trouver les limites des fonctions rationnelles comme les racines carrés, mais aussi celles des fonctions trigonométriques (tes exemples b) c) d) ) qui se résolvent mieux avec ma méthode.

Le désavantages : elle ne marche pas pour les limites des expressions du style : $\text{[math]}$ en 0 ... (quoique avec un peu d'astuce en s'en sort, mais dans ce cas là les méthodes proposés par Duke et hhh86 sont préférables ).

**hhh86** · 17/11/2008, 18h29

Envoyé par Duke Alchemist

Sinon, comme tu étais partie pour la première mais sans faire des "trucs bizarres" : $\text{[math]}$ (on peut simplifier car x est différent de 5)

La limite de f(x) en 5 est bien 1/2.

Choisis la méthode qui te convient le mieux

Duke.

tu parlais pour sabinesabine ?

**hhh86** · 17/11/2008, 18h31

Envoyé par VegeTal

allez je défends ma méthode

l'avantage : rapide, et simple, elle permet de trouver les limites des fonctions rationnelles comme les racines carrés, mais aussi celles des fonctions trigonométriques (tes exemples b) c) d) ) qui se résolvent mieux avec ma méthode.

Le désavantages : elle ne marche pas pour les limites des expressions du style : $\text{[math]}$ en 0 ... (quoique avec un peu d'astuce en s'en sort, mais dans ce cas là les méthodes proposés par Duke et hhh86 sont préférables ).

je suis d'accord, c'est plus facile pour les formes trigonométriques quoique on peut quand même s'en sortir autrement

**Duke Alchemist** · 17/11/2008, 19h04

Envoyé par hhh86

tu parlais pour sabinesabine ?

Bien entendu

Je n'avais pas vu que tu avais posté entre deux.

**sabinesabine** · 17/11/2008, 20h18

Envoyé par hhh86

Non il n'y a rien de compliqué
J'ai une autre méthode autrement qui est équivalente

$\text{[math]}$
On multiplie le numérateur et le dénominateur par $\text{[math]}$
On a donc :
$\text{[math]}$
<==> $\text{[math]}$
<==> $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

d'accord là je omprend mieux je vais faire les autres pour que vous puissiez me les corriger

**sabinesabine** · 17/11/2008, 20h25

b)f(x)=(cos (pi x))/(2x - 1) en a=1/2
on pose u(x)=cos pi
f(x) devient u(x) - (a)/x - a
ou u est derivable en 1/2
f(x)=(cos (pi x)) - cos (1/2) /(2x - 1) - 1/2
et aprés je fais quoi?
merci

**VegeTal** · 17/11/2008, 20h34

déjà tu précise ce qu'est $\text{[math]}$ .

puis tu dérives $\text{[math]}$ et tu remplace $\text{[math]}$ par la valeur de $\text{[math]}$ , et tu trouves ta limites. J'espère que tu as vraiment compris, car il ne suffit pas d'appliquer une formule bêtement .

**sabinesabine** · 17/11/2008, 20h42

f(x)=(cos (pi x))/(2x - 1) en a=1/2
on pose u(x)=cos pi x u'(x)=- u'cos u= -sin sin pi
f(x) devient u(x) - (a)/x - a
ou u est derivable en 1/2
f(x)=(cos (pi /2)) - cos (1/2) /(2 x 1/2 - 1) - 1/2 ????

en fait je pense avoir compris pour les fonctions avec les racines mais avec cos,sin tan comment faire
merci

**VegeTal** · 17/11/2008, 21h02

Envoyé par sabinesabine

f(x)=(cos (pi x))/(2x - 1) en a=1/2
on pose u(x)=cos pi x u'(x)=- u'cos u= -sin sin pi
f(x) devient u(x) - (a)/x - a
ou u est derivable en 1/2
f(x)=(cos (pi /2)) - cos (1/2) /(2 x 1/2 - 1) - 1/2 ????

en fait je pense avoir compris pour les fonctions avec les racines mais avec cos,sin tan comment faire
merci

NON!

$\text{[math]}$
on pose $\text{[math]}$ ok

$\text{[math]}$ attention piège $\text{[math]}$ est comme un nombre devant $\text{[math]}$ il faut donc le "sortir" du cos.

$\text{[math]}$ devient

$\text{[math]}$
on peut rajouter $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ ! au dénominateur je ne change rien je factorise juste pour faire apparaitre le 1/2

donc $\text{[math]}$

car $\text{[math]}$ (mais il ne faut pas oublier le 2 par lequelle on avait factoriser l'expression)

respecte toutes les étapes, et fais apparaitre des choses que si elle ne modifie pas $\text{[math]}$ . Tu remarques que tout ce que je rajoute ne modifie pas $\text{[math]}$ je modifie juste $\text{[math]}$ pour faire apparaitre une forme intéressante . essaye d'en faire un tout seul, c'est super important pour l'apprentissage !!

**sabinesabine** · 17/11/2008, 22h29

voici pour la suivante j'ai exactement suivi le 1)

f(x)= ((racine de 5x² +5) - 5) (racine de 5x² +5) + 5)/( - 2 - x) (racine de 5x² +5) + 5)
f(x)=( - 2 – x) /( - 2 - x) (racine de 5x² +5) + 5)
f(x)=1/( - 2 - x) (racine de 5x² +5) + 5)
donc lim quand x tend vers -2 de f(x)=0

**sabinesabine** · 17/11/2008, 22h46

et voilà pour la d)
f(x)=(tan (pi x ) - 1)/(4x - 1) en a=1/4
On pose u(x)=tan (pi x)
U’(x)=pi /cos ²(pi x)
F(x) devient f(x)=u(x) – u(1/4)/4(x – ¼)
On peut rajouter u(1/4) car u(1/4)=tan(pi /4)=1
Donc lim quad x tend vers1/4 de f(x)=1
Car u’(1/4)=pi

(juste quelque chose pourquoi u’(1/4)=pi j’ai écrit ça car j’ai suivi l’exemple b) pourquoi avez-vous écrit que u'(1/2)=pi dans le b))
merci

**VegeTal** · 18/11/2008, 08h35

Envoyé par sabinesabine

et voilà pour la d)
f(x)=(tan (pi x ) - 1)/(4x - 1) en a=1/4
On pose u(x)=tan (pi x)
U’(x)=pi /cos ²(pi x)
F(x) devient f(x)=u(x) – u(1/4)/4(x – ¼)
On peut rajouter u(1/4) car u(1/4)=tan(pi /4)=1
Donc lim quad x tend vers1/4 de f(x)=1
Car u’(1/4)=pi

(juste quelque chose pourquoi u’(1/4)=pi j’ai écrit ça car j’ai suivi l’exemple b) pourquoi avez-vous écrit que u'(1/2)=pi dans le b))
merci

parceque dans l'exemple b) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
et donc que

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

pour l'exemple b) je suis d'accord jusqu'à f(x) devient

$\text{[math]}$
normalement tu as fait le plus dur !! mais tu te plantes après.

quand $\text{[math]}$ tends vers 1/4 $\text{[math]}$ va tendre vers $\text{[math]}$ (j'espère que ça tu as comprit).

et $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

( $\text{[math]}$ au carré)

donc $\text{[math]}$

et $\text{[math]}$

**sabinesabine** · 18/11/2008, 21h49

je vous remercie de tout mon coeur car j'ai enfin compris

invited367bc30 · 06/12/2008, 18h42

juste comme sa tu est sur que la dérivée de cos c est sin et pas -sin????

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