Sujet type BAC Terminale S : Fonctions & Dérivation

[invite51f609d2]

Hello,
Comme beaucoup de monde, je ressors des vacances d'hiver avec la tête bien trop vide :/
Je planche sur cet exercice depuis plusieurs jours, et je dois avouer que -bien que l'exercice soit typique- la fonction, sa dérivée et ses applications me laisse sans réponse ...

Merci pour toute aide :

Pour tout entier naturel n, on appelle f_n la fonction définie sur [0;1] par :
f_n(x) = x^n+1/2(1-x)^1/2 si x appartient à ]0;1[
et f_n(0)=f_n(1)=1

On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé (O;i;j) du plan.
1) Démontrer que C₀ est un demi-cercle de rayon 1/2 dont on précisera le centre.
2)Soit n un entier naturel non nul.
a)Déterminer la dérivée f'_n de f_n sur ]0;1[.

J'ai f'_n(x) = (n+1/2)x^(n-1/2).(1-x)^1/2+x^(n+1/2).(-1/2).(1-x)^-1/2

b) Démontrer que f_n est dérivable en 0 et déterminer f'_n(0). Interpréter graphiquement.

J'ai essayé d'utiliser lim (quand x tend vers 0) [f(x) - f(0)]/x ... sans succès.

c) f_n est-elle dérivable en 1 ? Interpréter graphiquement.
e) Dresser le tableau de variation de f (pas de calcul de l'extremum demandé).

3) Soit n un entier naturel.
a) Etudier le signe de f_n+1-f_n sur [0;1].
b) En déduire la position relative de C_n et C_n+1.
c) Tracer C₀, C₁, C₂.


Aï
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[invitea3eb043e]

Comment la fonction peut-elle être dérivable en 0 alors qu'elle est manifestement discontinue ?

[invitef99a1962]

Pour la question 1).

fn(0)=fn(1)=1, donc si cercle il y a, le centre ne peut être qu'à un seul endroit, ensuite il ne reste plus d'après moi qu'à montrer que la fonction est continue et strictement croissante sur (0,1/2) et décroissante sur (1/2,1) (ou vice versa) puis montrer qu'elle est paire avec 1/2 comme axe (bref que f(1/2 - x)=f(1/2 + x) pour tout x compris entre 0 et 1/2).

[invite51f609d2]

Aucune idée... j'ai évidemment du mal à me représenter la courbe, alors, si en plus l'énoncé nous embrouille, je m'emmêle les pédales

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef99a1962]

Bref nan il y a pas mal de fonction d'exeption, mieux vaut utiliser l'équation du cercle de centre 1/2 et de rayon 1/2 et de prouver que pour x compris entre 0 et 1, f(x) satisfait à l'équation du cercle.

Ou alors prouver également (en plus de ce que j'ai dit avant) que la dérivée de f' est de signe opposée par rapport à l'axe 1/2

[invitef99a1962]

oublie ce que j'ai dit sur la dérivée, en fait ya surement une façon de le faire sans l'équation du cercle en prouvant en plus un certain truc sur la dérivée mais je sais pas quoi désolé. Toute façon cette méthode présuppose un tas de trucs que t'es sensé démontrer APRES donc à mon avis la seule solution est de passer par l'équation du cercle...

[invite51f609d2]

Je me noie dans toutes ses ébauches d'explication =S ... Je vois à forte raison que l'exercice est assez ardue, ce ne sont pas seulement mes faiblesses en maths qui me mettent la corde au cou ...

Sinon j'ai vraiment pas d'idée por démontrer la dérivabilité ou les dérivations des fonctions...

[invitef99a1962]

Je me noie dans toutes ses ébauches d'explication =S ... Je vois à forte raison que l'exercice est assez ardue, ce ne sont pas seulement mes faiblesses en maths qui me mettent la corde au cou ...

Sinon j'ai vraiment pas d'idée por démontrer la dérivabilité ou les dérivations des fonctions...

Bon en fait ce n'est pas si hardu, le cercle se visualise assez simplement et je pense que le sujet date d'une époque ou les lycéens apprenaient à reconnaitre un cercle et son équation.

Si tu veux arréter de baliser je te conseille de ne jamais regarder les annales de plus de 2-3 ans, à moins d'être passionée par les maths.
Je me souviens m'être tapé des pires flips à genre une semaine du BAC en regardant des sujets d'il y a 40 ans et autres (qui il faut bien le reconnaitre était plus dure en Math, enfin peut être n'étudions nous pas la même chose ou de la même façon ...).

[invite7ffe9b6a]

On a

montrons que la courbe représentative est un demi-cercle de centre(1/2,0)

L'equation de cercle de rayon R et de centre (a,b) est



or ici



donc la courbe est bien un demi cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1/2

[invite7ffe9b6a]

Il y une erreur d'énoncé.

On a !! pas 1

[invite890931c6]

Il y une erreur d'énoncé.

On a !! pas 1

là ça colle mieux pour la dérivation

[invite51f609d2]

Merci d'avoir souligné cette erreur !
Cependant, je ne comprend tjrs pas comment on peut démontrer que fn est dérivable en 1 ...

[invite7ffe9b6a]

Merci d'avoir souligné cette erreur !
Cependant, je ne comprend tjrs pas comment on peut démontrer que fn est dérivable en 1 ...

fn n'est pas dérivable en 1

[invite7ffe9b6a]

est dérivable en 0 pour

(pas dérivable en 0 pour n=0)


et pour tout , on a

[invite51f609d2]

est dérivable en 0 pour

(pas dérivable en 0 pour n=0)


et pour tout , on a

C'est bien gentil... maias je ne comprend absolument pas la démarche
Comment peut-on l'expliquer ??

[invite44d70ebf]

On a

montrons que la courbe représentative est un demi-cercle de centre(1/2,0)

L'equation de cercle de rayon R et de centre (a,b) est



or ici



donc la courbe est bien un demi cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1/2

Salut, je trouve le même résultat mais j'aimerais savoir comment savoir que c'est un démi-cercle et pas un cercle.
Heureuse année à tous,
L.

[invite890931c6]

Bah un cercle dans un repère c'est :





Car un nombre ne pas avoir deux images.

Si on considère le cercle unité par exemple :



Avec cette formule tu ne peux pas le tracer sur ta calculatrice. Il faut d'abord que tu isoles y.



ou

Et un demi cercle ça correspond à l'une des deux équations et pas les deux. Tu peux entrer ça dans ta calculatrice tu verras apparaitre le beau cercle unité.

[invite44d70ebf]

Salut,
J'y comprends pas grand chose.