DM maths terminale ES

[invite023d7f0a]

Bonjour à tous !

Voilà, je viens d'avoir un DM de maths qui me pose pas mal de problème... En voici l'énoncé :

Exercice 1 :
On considère la fonction f, de courbe C, définie sur ]-3;+∞[ par :
f(x)= -x²+4/x+3.

1)a)Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)= ax+b+(c/x+3).
b) En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +∞.
c) Démontrer que la droite D d'équation y=ax+b est asymptote à la courbe Cf.
d) Etudier la position relative de Cf et D.

2)Montrer que Cf admet une asymptote verticale.

3)Etudier les variations de la fonction f.

4) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse (-2).


Je galère des le début ce qui me bloque pour la suite.
Si quelqu'un sait comment procéder, merci de m'aider !


LionLeMelhor
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[invite38cbfd52]

Bonjour à tous !

Exercice 1 :
On considère la fonction f, de courbe C, définie sur ]-3;+∞[ par :
f(x)= -x²+4/x+3.

1)a)Déterminer les réels a, b et c tels que f(x)= ax+b+(c/x+3).


LionLeMelhor

Bonjour.

Tu es sûr de l'énoncé ?
si oui, je pense que les seules solutions sont:
a = -x !! b = 0. c = 4.

Raiken.

[invite023d7f0a]

J'avais pas bien écrit, l'équation est :
f(x)= (-x²+4)/(x+3).

[invitedde4a60c]

Bonjour ,

Mets sous le meme dénominateur l'expression ax+b+(c/x+3).

On obtient (ax+b) (x+3) + c/(x+3)

=(ax²+3ax+bx+3b+c)/(x+3)

Puis tu identifies les coefficients

Mais en effet , il semble y avoir une erreur d'énoncé.
Tu es sur que c'est 4/x ?

edit : a=-1
3a+b=0
3b+c=4

Donc a=-1
b=3
c=-5

Tu as donc f(x) =(-x+3) -5/(x+3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite023d7f0a]

J'avais pas bien écrit, l'équation est :
f(x)= (-x²+4)/(x+3).

Merci de cette première aide j'essaye ça tout de suite !

[invite38cbfd52]

J'avais pas bien écrit, l'équation est :
f(x)= (-x²+4)/(x+3).

Ah, d'accord. dans ce cas:

(-x²+4)/(x+3) = (9 - x² + 4 - 9)/(x+3) = ((3-x)(3+x))/(x+3) + -5/(x+3) = -x+3 + -5/(x+3).

Donc: a = -1. b = 3. c = -5.

[invitedde4a60c]

Tu as besoin d'aide pour la limite?

Sinon pour démontrer qu'une droite ax+b est asymptote à cf en +/- l'infini
Il suffit de montrer que lim f(x) -(ax+b) =0 quand x tend vers +l'infini(ici)



Pour étudier la position relative de cf et D

Il faut calculer f(x) -(ax+b) et étudier le signe.

Quand c'est positif , c'est que f(x) est au dessus .
Quand c'est négatif , c'est que f(x) est en dessous.

[invite38cbfd52]

Exercice 1 :
On considère la fonction f, de courbe C, définie sur ]-3;+∞[ par :
f(x)= -x²+4/x+3.

1)b) En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +∞.

On utilise soit la premiere, ou la 2eme forme de f, pour la premiere formule par exemple, la limite en +∞ est egale a la limite de(-x²/x), donc a la limite de -x quand x tend vers +∞


d) Etudier la position relative de Cf et D.

En etudiant la variation du signe de f(x) - (l'equation de D) = W.
si W est inférieur à zéro: f(x) au dessous de D.
si W = 0. intersection.
si W supérieur à zéro: f(x) au dessus de D


3)Etudier les variations de la fonction f.

En étudiant le signe de la fonction derivé f '.

4) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe au point d'abscisse (-2).

On a: y = f '(x°)(x-x°) + f (x°) si je me souviens bien ^^
x° = -2

[invite023d7f0a]

Merci à tous pour votre aide !

Il y a encore un truc : pour montrer que Cf admet une asymptote verticale, c'est la même méthode que pour l'asymptote oblique ?

[invite38cbfd52]

2)Montrer que Cf admet une asymptote verticale.

Je suis pas sûr, mais je pense qu'il suffit de démontrer que f tend vers l'infini pour une valeur appartient à Df, par exemple, f tend vers + l'infini si x tend vers 2 (qu'un exemple).
donc plue simple que l'asymptote oblique.

Bon courage.

Raiken.

[invitedde4a60c]

Merci à tous pour votre aide !

Il y a encore un truc : pour montrer que Cf admet une asymptote verticale, c'est la même méthode que pour l'asymptote oblique ?

Essayes d'étudier la limite pour x=-3 (valeur interdite du quotient)
x>3

Et tu devrais trouver +/- l'infini