explication d'un corrigé, théorème des triangles

[sendy76]

bonjour j'ai un DM à faire qui reprend ce qui a été dit sur ce site :

http://hal.archives-ouvertes.fr/docs...DF/RR-4362.pdf

que j'ai recopié ci-dessous, car je ne comprend pas bien leur façon de procéder, donc si quelqu'un pouvait me rééxpliquer la démarche ça serait tres gentil


C’ est en étudiant la démonstration classique (donnée ci-dessous) du théorème de l’ angle inscrit et de
l’ angle au centre que l’ on a décidé des premiers objets à construire dans Coq et des axiomes de départ.
Démonstration : (N.B. : dans cette démonstration, on confond un angle orienté de vecteurs non nuls et
une de ses mesures, on remplace par exemple l’angle plat par p et l’angle nul par 0 ou 2p )
Les points A, B et M étant sur un cercle de centre O, les triangles OAM et OBM sont isocèles en
O et donc on a les égalités d’ angles orientés de vecteurs :
(MA,MO)= (AO, AM ) et (MO,MB)= (BM,BO).
En utilisant la relation de Chasles, on obtient (MA,MB)= (AO, AM )+ (BM,BO) et d’autre part
(OA,OB)= (OA,OM )+ (OM,OB)
En utilisant la somme des angles dans un triangle isocèle et en utilisant la propriété : pour tous
vecteurs non nuls u et v : on a (v,u)= -(u, v)
on obtient successivement (OA,OM )=p - 2(AM, AO)=p + 2(AO, AM )
et de même (OM,OB)=p - 2(BO,BM )=p + 2(BM, BO) . Et en sommant, il vient
(OA,OB)=p + 2(AO, AM )+p + 2(BM,BO) ce qui permet d’écrire
(OA,OB)= 2[(AO, AM )+ (BM,BO)]= 2(MA,MB). (
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[tuan]

Bonjour,
Ceci illustre parfaitement le "pourquoi faire simple quand on peut faire compliquer" ou "utiliser un bulldozer pour casser un œuf". On se veut se passer de dessin pour construire les théorèmes de la géométrie… mais on affiche quand même quelques dessins "muets" pour se faire comprendre.

J'essaye t'expliquer le "côté dessin" de ce problème géométrique et à toi de traduire avec des angles dirigés, donc fais gaffe aux sens ou signes des angles.
1) Il faut savoir que dans un triangle isocèle, il y a 2 côtés égaux, opposés auxquels il y a 2 angles égaux. OK?
2) L'angle extérieur en un sommet du triangle est égal à la somme des angles intérieurs aux deux autres sommets du même triangle. OK aussi ?

Maintenant, il s'agit de démontrer qu'un angle inscrit à un cercle vaut la moitié de l'angle au centre.

La démonstration se fait d'abord pour un angle inscrit qui a un côté passant par le centre, un diamètre donc. Par mes deux remarques citées ci-dessus, le théorème devient évident (enfin je l'espère)

Ensuite, si l'angle inscrit "couvre" le centre dans son intérieur on le découpe par le diamètre qui passe par le sommet. On obtiendra dons 2 angles inscrits et 2 angles au centre dont les SOMMES sont respectivement les angles de départ.

Si par contre l'angle inscrit ne "couvre" pas le centre dans son intérieur, on fait la même chose pour avoir cette fois les DIFFERENCES des angles.