help aire des triangles
On prend un quadrilatère QUELCONQUE, on trace ses diagonales.
Ses diagonales définissent 4 triangles .
L'aire du premier triangle est 120, l'aire du second triangle est 200 et l'aire du troisieme est 300.
Comment calcule-t-on l'aire du quatrième triangle ?
Merci d'avance, Rémi
Réponse rapide, mais il est possible que je me trompe...
Pour définir un quadrilatère j'ai besoin de :
Un point de départ arbitraire... Qui fixe la position dans l'espace.
La longueur l1, d'un premier côté, qui fixe son orientation.
La longueur l2, du deuxième côté et l'angle a1 par rapport au premier côté.
La longueur l3 du troisème côté et l'angle a2 par rapport par exemple au 2ème coté.
J'ai donc besoin de 5 nombres, l1,l2,l3,a1 et a2 pour définir complètement mon quadrilatère.
Avec trois nombres, (les aires des 3 triangles) je n'ai pas assez d'informations pour construire reconstruire le quadrilatère complet.
Je ne vois pas de grandeur globales qui pourrait m'aider à répondre à la question posée (genre somme des angles du quadrilatère = 360°).
Il me semble donc que la réponse est : Je ne peux pas !!! Il manque des données.
Je me trompe ?
Salut!
Moi je trouve (grace a des relations entre les longueurs):
Aire(4) = (1/2)*[Aire(2)+Aire(3)]*[(Aire(1)/Aire(2)) + 1)] - [Aire(1) + Aire(2) + Aire(3)]
En revanche, j'obtiens une aire negative donc est tu bien sur de l'ordre des aires que tu as donné? (quand tu parles du premier, auquel penses tu?)
Jo : c'est quoi la relation sur les longueurs que tu utilises...
Sinon, je reformule mon message précédent, dites moi si je dis n'importe quoi :
un quadrilatère quelconque est défini par une serie de 3 vecteurs qui définissent chacun un de ses cotés à partir d'une origine arbitraire (Le dernier coté est défini de façon à refermé le polygone. Soit 6 scalaires. Comme la question sur les aires est indépendante de l'orientation du quadrilatère on a en pratique besoin de 5 scalaires pour correctement conditionner le problème. Y aurait-t-il d'autres invariants que je ne vois pas ?
Je pense qu'il est possible d'utiliser la formule suivante :
Aire(ABC)=1/2*AB*AC*sin(BAC)
Si on nomme E le point d'intersection des diagonales et en choissisant bien la formule, on peut peut etre determiner l'aire du 4eme triangle mais la j'ai pas le temps !
A première vue, j'ai peut être mal compris...
La règle de trois, vous en pensez quoi ?
Avec un bon dessin, la solution est on ne peut plus simple,
Faut pas chercher midi à 14 heures.
Il suffit d'avoir l'outil vu en cours moyen.
AZT, qui laisse cogiter
non je ne suis pas sur de l'ordre, je te redonne ça demain
ca fait un moment que je cogite, et c'est plus du niveau 4eme que cours moyen, mais néanmoins je n'y arrive pas.
Alors ... encore un pt'it coup de pouce ???
On utilise la relation que l'aire d'un triangle est égale à :
1/2 * a * b * sin (alpha)
où alpha est l'angle entre les côtés a et b.
Par ailleurs, sin (pi-alpha) = sin (alpha)
Tous les triangles ont le même sin (alpha) , donc :
a* b * sin (alpha) = 2*120 = 240
b * c * sin (alpha) = 400
c* d * sin (alpha) = 600
On cherche à calculer 1/2 * d * a * sin (alpha).
Pas trop dur !
A défaut de résoudre le problème général, essaie avec des diagonales perpendiculaires entre elles.
Et en utilisant la formule pour calculer l'aire d'un triangle : Aire=Base *Hauteur /2
ENsuite il suffit d'adapter la solution trouvée pour obtenir le résultat général
Yeah
Euh ué... Y'a des bugs pour les multiplications de lettres quand même
C'est cela que tu voulais dire ?Envoyé par Ganash
Yeah
alors ça s'écrit comme ça
Aire(ABC)=\frac{1}{2}(AB)(AC) sin(\alpha)
Je ne sais pas très bien pourquoi le alpha s'affiche mal avec ta syntaxe..
Note supplémentaire : en Latex on écrit sin (\sin) ce qui a pour effet de changer le style et évite de confondre la fonction sinus avec une variable qui s'appelerais sin. (même chose avec cos évidemment)
merci
et on écrit \sin(blabla) ou \sin\left(blabla\right) ?
MERCI pour la solution.
1.
Il a quand même des trucs que je pige pas :
AZT a dit que c'était une regle de 3 : c'est vrai mais pourquoi ???
2.
ce problème était dans un livre de maths de 4ème, et en 4°, on ne connait pas sla formule ni même le sinus. Il doit y avoir une manière élegante par la géométrie d'arriver à ce résultat simple (que je n'avais pas su trouver) ??
Réponse rapise :
ABCD quadrilatère,
On prend la diagonale BD
Et on dessine les hauteurs des triangles perpendiculaires à (BD).
Tu prends comme variables les deux hauteurs trouvées et les deux bases BE et ED (E intersection des diagonales).
Tu exprimes ensuite les aires de tes triangles en fonction de ces 4 variables.
Tu obtiens donc quatre relations entre h1,h2, BE , ED ,x et les aires connues.
--> Résolution du système.
Et tu tombes sur la solution.
Je vais préparer quelque chose de clair...
ABCD quadrilatère.
E intersection de (AC) et (BD)
soit h1 la hauteur des triangles (abe) et (ebc) issue de b.
soit h2 la hauteur des triangles (aed) et (dbc) issue de d.
On a :
Aabe = 1/2 * h1 * ae
Abce = 1/2 * h1 * ec
Aaed = 1/2 * h2 * ae
Acbe = 1/2 * h2 * ec
On en déduit :
Aabe/Abce =ae/ec
Aaed/Acbe = ae/ec
D'ou :
Aabe/Abce = Aaed/Acbe
Aabe= Aaed/Acbe*Abce
A.N :
Aabe = 120 /200* 300
Et voilà
