[TS+] x^y=y^x

[mx6]

Bonsoir,
Je me suis occupé cette soirée à essayé de résoudre cette exercice :

Trouver tout les couples N x différent de y biensur tel que : .

On trouve : soit
et vu que x est un entier et y aussi, alors Z ! Je m'arrête ici !
Je suis persuadé que les seules réponses possibles sont 2 et 4 ! Mais je sais pas comment démontrer !

PS: Je me rappelle être parvenu à ce résultat : Qui peut être justifie mon résultat.
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[invite2220c077]

Salut,

Comme x et y sont des entiers, pourquoi sortir la grosse artillerie et ne pas utiliser "tout simplement" la divisibilité ?

[mx6]

Zweig gros loveur de l'arithmétique ! Bah disons qu'au début, j'ai voulu utiliser l'arithmétique, mais disons que ça ne m'avance pas à grand chose......

HS: J'ai tjr ton problème d'aire de triangle dans la tête !

[invite2220c077]

Re,

Bon en fait en effet ça va plus vite avec le ln :

Ton égalité se réécrit .

Etudie la fonction sur [1, +oo[ puis conclus que si par exemple (ou l'inégalité inverse, ça n'a pas d'importance car l'équation initiale est symétrique en ses variables) , alors , d'où (car si , alors ). Tu en déduis alors , et par symétrie, tu en déduis le deuxième couple solution.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

A priori, on devrait également pouvoir utiliser l'unicité de la décomposition en nombre premier, et montrer que x et y ont la même décomposition ; il doit y avoir moyen de continuer le raisonnement.

[mx6]

Re,
Zweig ton idée marche pas, ou bien , moi je n'ai pas su l'utiliser, peux tu développer ?

Voici mon raisonnement :
Alors on a donc
soit :
D'ou : et et N, soit .
On en déduit que le seul couple possible est

[invite951d3e73]

On en déduit que le seul couple possible est

Déjà là c'est faux, tu as aussi le symétrique non ?


La méthode de Zweig consiste à dire (si je me trompe pas) que vu que ton inégalité revient à il suffit d'étudier la fonction

Or, cette fonction est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

Donc tu peux résoudre ton équation uniquement si x et y appartiennent l'un a un intervalle, et l'autre à l'autre. Zweig propose de commencer avec x dans le premier intervalle (il a lui écrit, x<y), donc x < e, vu que x ne peut pas être égal à 1, x ne peut prendre comme valeur que 2. Tu En déduis y=4, tu vérifies, ça fonctionne, c'est donc correct. Ensuite tu prends le deuxième cas, y appartient au premier intervalle, tu refais la même chose, et tu trouves x=4 et y=2.

(2;4) et (4;2) sont solutions.

[invite2220c077]

Salut,

Désolé d'avoir été concis. En effet, cypher_2 a bien compris où je voulais en venir.

[mx6]

Déjà là c'est faux, tu as aussi le symétrique non ?

Désolé de te décevoir, mais je ne fais jamais une rédaction exhaustive du raisonnement sur le forum car latex m'agace beaucoup, l'important c'est de trouver la technique, et de ne pas s'arrêter sur des absurdités. Déjà Zweig dans son post, a dit qu'il faut 2 couples, étant en spé maths, je connais cette règle.

Pour la méthode de Zweig, un camarade de classe a utilisé la même, et il me l'a expliqué, j'avoue qu'elle est pas mal aussi

[invite951d3e73]

On en déduit que le seul couple possible est

Toujours est-il que cette phrase reste totalement fausse. Tu peux si tu le souhaites faire des raisonnements plus de concis qu'en temps normal, mais ne rejette pas la faute sur le LaTeX, concis et faux c'est différent.

C'est pour toi que je dis ça

[invite2220c077]

Pas besoin de vous énerver pour si peu ^^

[mx6]

Et si je te dis que sur ma feuille de brouillon, j'ai bien écrit y>x dés le debut de l'exercice ?

Ça se voit, tu n'as même pas pris le temps de lire et comprendre ma réponse, dire : "Déja la c'est faux" sans l'avoir compris, je trouve ça vraiment moqueur. Peut être tu ne l'as pas fait exprès,certes ; mais ta phrase est bien méchante.
Bref,
A+

[invite951d3e73]

Pas besoin de vous énerver pour si peu ^^

On s'énerve pas je faisais juste remarquer à mx6 qu'entre :

"bidule est un couple solution de l'équation" et "bidule est le seul couple solution de l'équation" y'a une différence

Moi je souhaite qu'on me corrige quand je fais des erreurs, et c'est le but du forum, d'autant plus qu'en maths la rigueur est très importante. Ca me parait tout bête ... et loin d'un quelconque énervement

Bonne soirée

[Thorin]

Sinon, on peut montrer que nécessairement, supposant y>x, on a x divise y ;

ouais, mais si l'entier k tq y=kx est plus grand ou égal à 3, on arrive à des choses du plus haut comique (
et puis si k=2, on montre évidemment que x=2...

[mx6]

k ne peut être égale à 3, car N; Or pour tout entier : et donc la seule valeur pour possible est . Et ainsi on trouve le résultat.

[Thorin]

Enfin, avant, faut montrer que x divise y

[mx6]

excuse moi pour mon dernier post Thorin, je voulais écrire que : , j'avais mis sous cette forme k^k-1=1 et latex m'a sortir cette horreur !