Probabilités

[invite4b33ea0e]

Bonjour à tous !
Alors voilà j'ai un exercice à faire sur les probas, et je suis bloqué à la moitié, enfin je sais la réponse de ce qu'il me demande mais je ne vois pas comment le démontrer. Si quelqu'un peut m'aider je le remercie d'avance.

Enoncé

1) Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.
Soit (O, i, j, k) un repère orthonormal de l'espace.

On considère les vecteurs U et V de coordonnées repectives (a, -5, 1-a) et (1+b, 1, b).

Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à 1/4.
J'ai fait :
Si U et V orthogonaux alors U.V=0. J'ai calculer les produits scalaires quand (a=1, b=1), (a=1, b=2), (a=1, b=3), (a=1, b=4), (a=2, b=1) ... (a=4, b=4). Et je trouve bien 1/4 à la fin. (En revanche c'est assez long à faire les 16 produits scalaires, si quelqu'un connaît une méthode pour aller plus vite, je suis prenante)

2) Deux personnes A et B jouent au jeu suivant, constitué d'un certain nombre de parties identiques décrites ci-après : au cours d'une partie, chaque joueur effectue le tirage de deux jetons décrit dans la première question.
- Si A obtient des vecteurs orthogonaux et B des vecteurs non orthogonaux, A est déclaré vainqueur, le jeu s'arrête.
- Si A obtient des vecteurs non orthogonaux et B des vecteurs orthogonaux, B est déclaré vainqueur et le eu s'arrête.
- Dans les autres cas, les joueurs entreprennent une nouvelle partie ; le jeu continue.

Pour tout entier n, on désigne par :
A_n l'évènement : "A gagne la n-ième partie",
B_n l'événement : "B gagne le n-ième partie",
C_n "le jeu continue après la n-ième partie"

a) Calculer les probabilités p(A₁), p(B₁) et p(C₁).
J'ai fait un arbre et j'ai trouvé :
p(A₁)=3/16
p(B₁)=3/16
Pour p(C₁) =1-(p(A₁)+p(B₁)) = 5/8.

b) Exprimer p(C_n+1) en fonction de p(C_n) et montrer que p(C_n)=(5/8)ⁿ.
Exprimer p(A_n+1) en fonction de p(C_n) et en déduire que p(A_n)=(3/16)((5/8)^n-1)

3)a) Déterminer la limite de p(A_n) quand n tend vers +oo.
b) Déterminer le plus petit entier n tel que p(A_n) soit inférieur ou égal à 0,01.

Voilà. Je n'arrive pas les 4 dernières questions, si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance.
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[inviteaeeb6d8b]

Bonjour

1) Une urne contient quatre jetons numérotés de 1 à 4. On tire au hasard un jeton de l'urne, on lit le numéro, noté a, porté sur le jeton puis on remet le jeton tiré dans l'urne. On tire ensuite un deuxième jeton de l'urne et on note b le numéro du jeton tiré.
Soit (O, i, j, k) un repère orthonormal de l'espace.

On considère les vecteurs U et V de coordonnées repectives (a, -5, 1-a) et (1+b, 1, b).

Montrer que la probabilité que ces vecteurs soient orthogonaux est égale à 1/4.
J'ai fait :
Si U et V orthogonaux alors U.V=0. J'ai calculer les produits scalaires quand (a=1, b=1), (a=1, b=2), (a=1, b=3), (a=1, b=4), (a=2, b=1) ... (a=4, b=4). Et je trouve bien 1/4 à la fin. (En revanche c'est assez long à faire les 16 produits scalaires, si quelqu'un connaît une méthode pour aller plus vite, je suis prenante)

La rédaction de ta réponse n'est pas terrible... tout simplement parce que tu commences par : Si alors ce qui se traduit en terme de probabilités par alors que tu veux une égalité.
Pour calculer des probas, il faut raisonner par équivalences, et ici tu le peux :
U et V orthogonaux équivaut à U.V=0.

Pour les calculs : U et V sont orthogonaux si et seulement si , c'est-à-dire dans les cas suivants :
a=1 et b=4
a=2 et b=3
a=3 et b=2
a=4 et b=1
Donc, comme les résultats sont équiprobables (en sachant qu'il y a 16 possibilités au total).

Il n'y a donc pas besoin de calculer les 16 produits scalaires.

[inviteaeeb6d8b]

Voyons la suite...

a) Calculer les probabilités p(A₁), p(B₁) et p(C₁).
J'ai fait un arbre et j'ai trouvé :
p(A₁)=3/16
p(B₁)=3/16
Pour p(C₁) =1-(p(A₁)+p(B₁)) = 5/8.

Je suis d'accord.

[B]b) Exprimer p(C_n+1) en fonction de p(C_n) et montrer que p(C_n)=(5/8)ⁿ.

Tu dois connaitre cette formule sur les probabilités conditionnelles :
(or )
Or le tirage, quand il se déroule est indépendant des résultats des tirages antérieurs. Sachant que jusqu'au ème tirage, il n'y a eu ni victoire ni défaite, alors la probabilité qu'il n'y ait à nouveau ni victoire ni défaite est la même qu'au début du jeu :


Avec ceci tu devrais arriver à t'en sortir pour la suite.

[invite6db5b418]

b) Exprimer p(Cn+1) en fonction de p(Cn) et montrer que p(Cn)=(5/8)n.
Exprimer p(An+1) en fonction de p(Cn) et en déduire que p(An)=(3/16)((5/8)n-1)

Ben p(Cn+1) est égal à la probabilité que la n+1-ième partie ait lieu (c'est à dire que le jeu continue après la n-ième partie) fois la probailité que aucun des deux ne gagnent. D'où . p(C(n)) étant une suite géométrique de raison 5/8, on a car il y a 100% de chance que la première partie ait lieu.
Pour A(n) il suffit de montrer de la même manière que et la conclusion vient d'elle-même.

3)a) Déterminer la limite de p(An) quand n tend vers +oo.
b) Déterminer le plus petit entier n tel que p(An) soit inférieur ou égal à 0,01.

Pour le a, je pense que tu peux y arriver seule^^ (d'autant que le b te donne la réponse)
Pour le b, Il suffit de résoudre l'équation avec les logarithmes et on trouve ...

Il me semble qu'au final, tu avais fait le plus dur^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b33ea0e]

U et V sont orthogonaux si et seulement si a+b=5

Pourquoi ? Comment on peut le savoir sans faire tous les calculs ?

[invite4b33ea0e]

Sachant que jusqu'au ème tirage, il n'y a eu ni victoire ni défaite, alors la probabilité qu'il n'y ait à nouveau ni victoire ni défaite est la même qu'au début du jeu :

Pourquoi la probabilité qu'il n'y ait à nouveau ni victoire ni défaite est la même qu'au début du jeu ?

[invite6db5b418]

Pourquoi la probabilité qu'il n'y ait à nouveau ni victoire ni défaite est la même qu'au début du jeu ?

Car chaque partie est indépendante des autres, à partir du moment où elle a lieu
C'est du hasard, donc ce qui s'est passé la partie d'avant n'influe pas la partie suivante...

[invite4b33ea0e]

A oui exact. Merci.