Probabilités

[invitebb921944]

Bonjour tout le monde !
J'ai un énoncé qui me pose problème :

Soit (Xn) une suite de v.a. indépendantes de densités an*exp(-an*x)1[0,oo[(x) (c'est écrit lambdan à la place de an mais c'est plus lisible comme ça).

Je dois montrer l'équivalence de :
i)P(somme(Xn) pour n allant de 1 à l'infini=+oo)=1
ii)P(somme(Xn) pour n allant de 1 à l'infini=+oo)>0

La première implicationest triviale.
Comment partir pour la deuxieme ?
Esperance ? Fonction de répartition ? Dois-je exprimer des sommes partielles puis passer à la limite ? (ai-je le droit de passer à la limite ?)

Merci d'avance !
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[Romain-des-Bois]

Salut !

Si tu montres que la probabilité pour que ta série converge est 0, c'est terminé car alors, si cette proba n'est pas nulle, elle vaudra 1 (il y a deux possibilités : elle converge ou elle diverge )

Bon, c'est juste une petite idée comme ça...


Romain

[invitebb921944]

Ouais ca a l'air pas mal mais en fait je ne vois même pas comment partir pour prouver une quelconque divergence... En fait, mon problème est : comment faire intervenir la densité dans le calcul de la probabilité ?
Dois-je passer par la fonction de répartition ?

[Romain-des-Bois]

La fonction de répartition... mouaif...
En voyant ton exo, on pense plutôt à du Borel Cantelli

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebb921944]

Je viens de regarder ce théorème sur wiki (je connais pas trop mes cours de théorie de la mesure), ne doit on pas considérer une somme de probabilités et non une probabilité de sommes ?
Merci pour ton aide en tout cas !

[Romain-des-Bois]

Oui, c'est exact... c'est la présence de séries qui m'y a fait penser...

[Garf]

A vue de nez, je dirais qu'il faut utiliser la loi du 0-1 de Kolmogorov... Malheureusement, l'énoncé que j'en ai dans mon poly de maths est assez abscons

Voir ici : http://www.dma.ens.fr/%7Elegall/IPPA2.pdf - pages 127 et 128 - proposition 10.2.1.

La version de Wikipédia est sûrement plus explicite

[invitebb921944]

Merci beaucoup pour ces réponses.
J'ai regardé la loi du 0-1 de Kolmogorov et ca me semble effectivement être la bonne piste.
Par contre j'ai quelques soucis d'utilisation.
On me dit dans mon cours (dans les exemples) que {w | Somme(Xn(w)) converge} est un événement asymptotique.
De la mon exo est bidon mais en fait j'aimerais savoir comment démontrer que cet événement est asymptotique.
Il est asymptotique s'il appartient à la tribu asymptotique définie par
Too=intersection des Tn (n>=0) où Tn est la tribu engendrée par les (X(n+1),X(n+2),.....)

Ok je m'attendais à moins abstrait m'enfin on va faire avec.
En gros, quelque soit n de N, l'événement considéré appartient à Tn car la convergence de la somme des Xn implique la convergence de la somme des Xn à partir de n'importe quel rang.
Donc l'événement appartient à Too puisqu'il appartient à chaque Tn.
J'ai le droit de dire ça ?

Merci d'avance !

[Romain-des-Bois]

Salut !

Je ne connais pas cette loi, mais tu peux également utiliser la fonction caractéristique, en montrant que le fonction caract d'une somme de va iid est le produit des fonctions caract.

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Par contre il y a quelque chose qui me chiffonne :

si la densité est celle que tu as donnée, on doit avoir que son intégrale en -oo et +oo est 1

or : une primitive est -exp(-an.x) ce qui est négatif pour tout x... bizarre


Romain

[Garf]

or : une primitive est -exp(-an.x) ce qui est négatif pour tout x... bizarre

Et une autre primitive est 26543486-exp(-an.x), qui est positive pour tout x positif (les seuls qui importent, la densité étant nulle pour x négatif)...
Maintenant que tu as ta primitive, il faut faire la différence entre la limite en l'infini et sa valeur en 0. Mal réveillé ?

[Romain-des-Bois]

J'avais pensé à ça...

Mais rien ne dit que la suite (an) est positive

et donc ta primitive farfelue peut très bien être négative... Donc : pas la peine de sortir une grosse constante

[invitebb921944]

En fait an>0 dans l'énoncé, j'ai oublié de le préciser

[Romain-des-Bois]

Ah bon... si la suite est positive alors, tout va bien...

[invitebb921944]

Je ne connais pas cette loi, mais tu peux également utiliser la fonction caractéristique, en montrant que le fonction caract d'une somme de va iid est le produit des fonctions caract.

Et en quoi cela me permet de conclure sur la convergence vers 1 de la probabilité considérée ?
Merci encore pour votre aide...

[Romain-des-Bois]

Bah, je sais pas, j'ai cherché ce qu'on pouvait appliquer dans le cas d'une somme de va iid
Peut-être faudrait-il connaître la limite de la suite (an)

C'est juste des pistes

EDIT : Kolmogorov, ça marche pas ?

[invitebb921944]

Bah si ca a l'air d'être Kolmogorov mais je ne sais pas comment justifier convenablement que je suis dans les hypothèses de ce théorème....