spé maths

[invite7afa3ac7]

bonjour, j'ai quelques difficultés à démontrer les énoncés suivants :

1) si PGCD(a,b)=PGCD(a,c)=1 alors PGCD(ab,bc)=1 : je suis bloquée après avoir trifouillé avec Bézout à : ab(vu')+bc(vv')+au=1 [j'ai dit au+bv=1 et au'+cv'=1]

2) si PGCD(a,b)=1 alors pour tout m et n>ou égal2 PGCD(a^m,b^n)=1 : là je ne sais comment partir !

3) PGCD(a,b)=d alors pour tout n>ou égal à 2 PGCD(a^n,b^n)=d^n : de même je ne vois pas comment partir car on a pas de formule pour (au+bv)^n par exemple !

pouvez-vous m'indiquer des pistes svp ?
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[invite7afa3ac7]

pour la 2) et la 3) on peut pas s'aider de la décomposition en facteurs premiers ?

[invite890931c6]

Oui pour la 2) et la 3)

comme le fait d'augment à une puissance augmente juste la puissance des facteurs premiers, si a et b n'ont aucun facteur en commun le fait d'augmenter celui ci de 3 ou n n'a aucun effet.

De même si PGCD(a, b) = d alors dans la décomposition de a et b en facteurs premiers il y a d, d'où si l'on élève à la puissance a et b, d aussi .

[invite7afa3ac7]

ok merci et pour la 1) vous n'auriez pas une piste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite890931c6]

Peut être ne comprends -je pas bien la question 1)

mais PGCD(ab ; cb) = b pour moi donc ceci est égale à 1 seulement si b = 1 .

[invitecb6f7658]

Je suis d'accord avec la remarque de Vegetal concernant le 1)
Par homogénéité le PGCD vaut b, et donc par forcément 1

[invite9a322bed]

Je pense que la question serait de démontrer si et alors .