exercice troisième

[invite7240d047]

Bonsoir, j'ai un petit souci pour résoudre un problème. J'aide le fils d'une ami, si vous pouvez m'aider svp.


Xavier, Yves et Zoé ont un sac de billes. Dans chaque sac, il y a des billes en terre, en verre et des calots (grosses billes).
Chacun possède un seul calot.
a) Si Yves échange son calot avec Xavier contre 6 billes en verre, il aurait 2 fois plus de billes que Xavier.
b) Si Xavier echange le sien avec Zoé contre 14 billes en terre, il aurait 3 fois plus de billes qu'elle.
c) Si Zoé echange son calot avec Yves, contre 4 billes en verre, il aurait 6 fois plus de billes que Yves.
Quelle est la composition des sacs ?

Je crois avoir un soucis pour déterminer les inconnus, de plus je ne sais pas s'il faut traiter le a, b, et c ensemble ,

Merci de votre attention
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[invite7240d047]

Si vous pouvez me mettre sur la piste pour le choix d'inconnus svp.
J'ai voulu prendre x pour les billes en verre et y pour les billes en terre mais ce n'est pas possible donc dois-je attribuer une inconnue pour chaque personne ou une inconnue qui regroupe les 3 ?

[invite7240d047]

Dites moi si le début est bon ?
Soit x les billes en verre de Yves et y les billes en terre de Yves

x + y +6=2(x + y +1)

[invite7ed8e144]

Salut!
Il faut que tu réécrives tout sous forme d'équations...
soit a les billes de terre, b les billes de verre et c les callots
x, y, z c'est pour xavier, yves et zoé (à écrire en indice)

Exemple de la première equation :
a_y + (b_y + 6) + c_y - 1 = 2 * (a_x + (b_x - 6) + c_x + 1)
On fait le bilan de ce qu'aura yves après l'échange (à gauche) et de ce qu'aura xavier après l'échange (à droite) et on sait qu'il y a un facteur 2 entre les 2

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ed8e144]

Une fois que tu aura écrit les 3 équations sous cette forme, il faudra les combiner 2 à 2 pour éliminer des inconnues

[invite7240d047]

Merci donc si je comprends pour la 2è équation donne:

2ax+14+2bx-12+2cx+2-1=3((2ax+14)+(2bx-12)+2cx+2-1)

[invite7240d047]

Non, plutôt

2ax+14+2bx-12+2cx+2-1=3((2az-14)+bz+cz+1)

[invite7240d047]

et pour la 3è, j'obtiens:

3az-42+3bz+4+3cz+2=6ay+6by-24+6cy+6
C'est bon svp ?

[invite7ed8e144]

Le ne trouve pas ça.
pour la deuxième proposition :

Le nombre de billes qu'a xavier avant l'échange est (par définition)
a_x + b_x + c_x

Et celui qu'a zoé est
a_z + b_z + c_z

Donc après l'échange, xavier a :
a_x + 14 + b_x + c_x - 1 (14 en terre en plus, un calot en moins)

et zoé a :
a_z - 14 + b_z + c_z + 1 (14 en terre en moins et un calot en plus)

Soit l'équation :
a_x + 14 + b_x + c_x - 1 = 3*(a_z - 14 + b_z + c_z + 1)

[invite7ed8e144]

Une fois la troisième équation posée, tu peux déjà commencer par regrouper les variables comme suit :
Je pose par exemple
X = a_x + b_x + c_x
Y = a_y + b_y + c_y
Z = a_z + b_z + c_z

Tu pourra alors résoudre ton système (3 équations à 3 inconnus)

Une fois ce système résolu, tu aura donc trouver le nombre total de billes dans chaque sac. Pour trouver la part de chaque type dans chaque sac, je te laisse te débrouiller