géométrie en spécialité maths

[invitef4688192]

Bonjour à tous

Voilà le bac approche et je suis en train de m'entrainer sur des annales de spécialité maths...
mais je ne trouve pas le corrigé d'une des annales sur internet.. et je bloque un peu sur certaines questions... ^^'

Alors voici l'énoncé :

On se propose dans ce problème d’étudier l’ensemble, noté , des points de l’espace équidistants de
deux droites D et D′ non coplanaires et orthogonales. L’espace est rapporté à un repère orthonormal (0;i;j;k)

La droite D passe par le point A de coordonnées (0 ; 0 ; 1) et admet comme vecteur directeur u tel que
u= i + j (en vecteur)
La droite D′ passe par le point B de coordonnées (0 ; 0 ; −1) et admet comme vecteur directeur v tel que
v= i - j (en vecteur)

Et voici les questions :

1) vérifier que D et D' sont orthogonales et non coplanaires. Montrer que le point 0 appartient à

2) Trouver une représentation paramétrique de D. Soit M (x;y;z), calculer la distance du point M à la droite D

3) calculer la même distance avec la droite D'

4) en déduire que M appartient à si et seulement si on a xy + 2z = 0


Pour la 1) pas de problème pour montrer qu'elles sont orthogonales, mais pour montrer qu'elles ne sont pas coplanaires je ne sais pas vraiment comment m'y prendre... faut utiliser les point A et B non?

2) J'ai trouvé la représentation paramétrique mais pour la distance je trouve et je ne suis pas sur que ça soit le bon résultat...

4) pour cette question je ne sais pas vraiment pas où commencer


Merci d'avance
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[invitea29b3af3]

a) deux droites dans l'espace sont coplanaires si elles ont un point commun (s'ils elles se croisent), car forcément que 2 droites dans le même plan se croisent à un endroit (sauf si elles sont parallèles, ce qui n'est pas le cas puisque u pas égal à v).
La représentation paramétrique de D est (k;k;1), k est réel
Celle de D' c'est (n,-n,-1).
Or il est absolument impossible d'avoir:
(k;k;1) = (n;-n;-1) donc elles ne sont pas coplanaires car elles n'ont pas de point commun

b) Pour la distance avec M : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distanc...%A0_une_droite
utilise la formule donné sous "dans l'espace" : d(A,(d)) =....
mais dans ton cas: A c'est M et (d) c'est D et B c'est A (et u c'est u)
désolé j'ai pas le temps de calculer et de vérifier ton résultat

c) idem avec l'autre droite

d) tu égalises le résultat obtenu en b avec celui obtenu en c (afin d'obtenir une paramétrisation de l'ensemble SIGMA) et ça devrait te donner cette condition

[invitef4688192]

Merci beaucoup fiatlux

mais je bloque toujours pour la dernière question ^^'

b) Pour la distance avec M : http://fr.wikipedia.org/wiki/Distanc...%A0_une_droite
utilise la formule donné sous "dans l'espace" : d(A,(d)) =....
mais dans ton cas: A c'est M et (d) c'est D et B c'est A (et u c'est u)

Oui j'ai bien utilisé cette formule là et si je ne me suis pas trompé on trouve pour la question 2 et pour la question 3

d) tu égalises le résultat obtenu en b avec celui obtenu en c (afin d'obtenir une paramétrisation de l'ensemble SIGMA) et ça devrait te donner cette condition

et la je n'y arrives toujours pas... parce qu'en égalisant les deux résultats il n'y a aucun x ou y et du coup je ne sais pas du tout comment faire apparaitre la condition cherchée...

[invitea29b3af3]

bon, j'ai fait les calculs: tes distances sont fausses

elles doivent forcément dépendre de x, y et z puisqu'il y a le point M dans le calcul:
vecteur AM = (x;y;z-1)
produit vect entre AM et u = (x;y;z-1) ^ (1;1;0) = (1-z;z-1;x-y)
norme du résultat précédent = racine de ((1-z)^2 + (z-1)^2 + (x-y)^2)) = racine de (x^2+y^2-2xy+2z^2-4z+2)
norme de u = racine de 2
donc la distance est [racine de (x^2+y^2-2xy+2z^2-4z+2) / (racine de 2)]

point c)
BM = (x;y;z+1)
etc.
distance est [racine de (x^2+y^2+2xy+2z^2+4z+2) / (racine de 2)]

point d)
tu égalises les 2 distances, ça te donne:
4z + 2xy = -4z-2xy
donc:
xy + 2z = 0 et paf c'est ce que tu cherchais

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4688192]

tu égalises les 2 distances, ça te donne:
4z + 2xy = -4z-2xy
donc:
xy + 2z = 0 et paf c'est ce que tu cherchais

j'étais parti avec la représentation paramétrique et je me suis un peu embrouillé


Merci beaucoup

[invite633f0a84]

Bonjour, je m'exerce également sur ce sujet pour mon bac blanc et je bloque totalement! Je ne vois pas comment prouver que les deux droites ne sont pas coplanaires, je n'arrive pas non plus a calculer la distance de du point M a la droite D! est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp?? MERCI