[TS Arithmétique] Démonstration Euclide Nombres Premiers

[invitee2d9a777]

La démonstration tiens au principe que si on a une liste fini de nombres premiers {p0, ... pn}
Alors Produit(pi) +1 n'est divisible par aucun pi donc il est premier.

Contre exemple :
soit la liste { 2, 3 }
2^3 * 3 + 1 = 24 + 1 = 25 qui n'est pas un nombre premier !
mais qui est premier avec 2 et 3...

Celà voudrait-il dire que la démonstration d'Euclide est fausse ?
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[inviteec9de84d]

Salut,

La démonstration tiens au principe que si on a une liste fini de nombres premiers {p0, ... pn}
Alors Produit(pi) +1 n'est divisible par aucun pi donc il est premier.

les termes du produit sont distincts

Contre exemple :
soit la liste { 2, 3 }
2^3 * 3 + 1 = 24 + 1 = 25 qui n'est pas un nombre premier !

ce qui te permet d'invalider le contre-exemple :
1+2*3 = 7 est bien premier

[bubulle_01]

Vous vous trompez lourdement tous les deux.
Certes lapin savant donne une raison "valable" pour invalider ton contre exemple, mais d'un point de vue général, je ne pense pas qu'il ait mis l'accent sur le fond du problème.

Le truc qui est toujours vrai, c'est le produit des n premiers nombres premiers +1 n'est jamais divisible par l'un de ces n nombres premiers.
Mais qu'est-ce qu'il l'empêche d'être divisible par le (n+1) ème ? Ou le (n+2) ème etc ... ?
Le fondement de la preuve d'euclide c'est que dans la condition où les nombres premiers sont en nombre fini, alors le "(n+1)ème", le "(n+2)ème" etc ... n'existent pas car il n'y en aurait que n.

[invite5150dbce]

De toutes façons on se moque de savoir si est premier ou non. On veut juste montrer que P est fini aboutit à une absurdité en montrant que ne peut pas ne pas être premier. Cela ne prouve pas que est premier mais que si P est fini, est premier. Il y a une nuance de taille puisque P n'admet pas un nombre d'éléments fini. En revanche cela ne prouve pas non plus que n'est pas premier

[A voir en vidéo sur Futura]