DM 1°S - verre cylindrique

[invite2fcf333c]

Bonjour à tous ! (Et bonnes vacances pour ceux qui le sont !)
Alors voilà, j'ai un DM à faire pour la rentrée et sur les 3 exercices j'ai un peu de mal avec celui ci :

Un verre cylindrique a un diamètre intérieur de 10cm et une hauteur intérieure de 10cm. On place au fond du verre une boule métallique de rayon , et on verse de l'eau dans le verre jusqu'à ce que l'eau recouvre exactement la boule.

1°) On note le volume d'eau versé dans le verre. Quel est l'ensemble de définitions de la fonction ?

2°) Exprimer en fonction de .

3°) Démontrer que pour tous et de , est du même signe que

4°) En déduire (avec moult explications !) que admet un maximum en , construire le tableau des variations de sur .

5°) Si , peut on enlever la boule (sans vider l'eau ni en ajouter) en mettre une autre, de rayons différent, telle que l'eau la recouvre exactement.

6°) Même question si

Bon alors j'ai commencé à réfléchir un peu mais même trouver l'ensemble de définitions me pose problème... Déjà on peut être sûr qu'il est positif donc il est défini sur mais le volume total du verre est de donc il serait compris en et .... ?

Merci de votre aide,

Thomas3400 !
-----

[Duke Alchemist]

Bonjour.

0. As-tu fait un petit dessin de la situation ?

1. On te demande les valeurs de r pour lesquelles la fonction V(r) est définie.

2. Comment exprimes-tu (avec des mots) le volume de l'eau versée ?
Déduis-en la relation mathématique en fonction de r.

La suite (qui n'est pas bien dure) plus tard

Duke.

EDIT : Es-tu sûr du volume de ton cylindre ?

[invite2fcf333c]

Oui oui j'

[invite2fcf333c]

Oui oui j'ai fait un dessin !

1. Ahh d'accord !! Donc D = ]0;5[ ? Puisque r est le rayon... Non ?
2. La seule différence entre le volume total et celui recouvrant pile la boule serait la hauteur du cylindre. Dans le premier cas il faut prendre h=10cm et dans le 2e h=r.
Donc

Heu le

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

1. L'intervalle est fermé : 0 et 5 sont des valeurs autorisées.
2. et la remarque : il y a une confusion entre diamètre et rayon de la boule, non ?
Pourquoi veux-tu faire deux cas ?
V_eau = V_{cyl(R=D/2,H=2r)} - V_boule(R=r) où R représente le rayon, D le diamètre et H la hauteur. r est la variable.

Si tu ne comprends pas mes notations, je détaillerais davantage sinon dis-moi ce que tu trouves pour V(r).

[invite2fcf333c]

1. Oui enfin bon une boule de rayon 0cm ne serait pas très intéressant mais oui ok tu as raison, merci
2. Oui j'ai compris tes notations. Alors ça donnerait


Quelque chose comme ça ... ?

[Duke Alchemist]

Attention coquille ! C'est

Personnellement, je laisserais sous la forme

EDIT : Après, il faut savoir que (a³-b³) = (a-b)(a²+b²+ab)

[invite2fcf333c]

Ahh oui !!!!! Merci !
Oui après j'ai continué le calcul mais comme je me suis trompé au début je dois recommencer ! Oui oui j'ai bien utilisé a^3 - b^3

[invite2fcf333c]

Donc alors, j'ai continué un peu et j'ai fait .
Après plusieurs lignes de calcul je suis arrivé à ça :
Ainsi on retrouve presque la même chose que dans l'énoncé mais avec un et un "divisé par 3". La question est : montrer que c'est le même signe." Eh bien on peut dire que c'est du même signe puisque est strictement positif et le fait de diviser le tout par 3 n'influe pas sur le signe non plus. C'est ça ?

Maintenant la question du maximum... Je sais que la formule pour trouver un maximum est
Ici ça donnerait
Mais je suis un peu bloqué là...

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Attention, ce n'est pas V qui vaut !
Pour le maximum, comme ça, je proposerais de montrer que le signe de est toujours positif pour tout .
Non ?

Duke.

[invite2fcf333c]

Ah oui en effet je vois mon erreur ! Je sens que ça va faire un calcul pas cool mais bon je vais essayer !
Merci

[invite2fcf333c]

Je suis bloqué à cette étape...

[Duke Alchemist]

Re-

Tu as le droit de t'aider du résultat qui précède (concernant le signe de l'expression)

[invite2fcf333c]

Quel résultat qui précède ... ?
En tt cas je sais que ce que j'ai écrit sera supérieur ou égal à 0 puisque l'énoncé nous dit qu'il s'agit du maximum...

[Duke Alchemist]

Quel résultat qui précède ... ?

Celui-ci :

... le signe de est toujours positif pour tout .

En ajoutant que le signe de est celle du signe de .
Il te suffit de montrer que dans l'intervalle d'étude, le produit est toujours positif.

[invite2fcf333c]

Comme ça ? On sait que V(r) est positif car r€[0;5] mais comme on a mis le signe moins devant il devient son opposé. Donc il est négatif. Puis on a avec donc cette différence est négative. Le produit de deux facteurs négatifs est positif donc est bien le maximum.
C'est ça ?