spe maths TS

[inviteb7961ec3]

Bonsoir,
j'ai un exercide (pour un dm) à rendre demain sur lequel je bloque.
Enoncé : Démontrez que pour tout entier k, 2k+1 et 9k+4 sont premiers entre eux.

J'ai essayé avec l'algorithme d'euclide mais le résultat me parait étrange..
merci d'avance de votre aide qui, je l'espère sera rapide.
cordialement Barney91.
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[hhh86]

Bonsoir,
j'ai un exercide (pour un dm) à rendre demain sur lequel je bloque.
Enoncé : Démontrez que pour tout entier k, 2k+1 et 9k+4 sont premiers entre eux.

J'ai essayé avec l'algorithme d'euclide mais le résultat me parait étrange..
merci d'avance de votre aide qui, je l'espère sera rapide.
cordialement Barney91.

Pour tout entiers k |2k+1|=<|9k+4| (à démontrer)
On cherche l'ensemble des entiers k tels que 2k+1|9k+4
Or 2k+1|2k+1 et 2k+1|9k+4 donc 2k+1|(9(2k+1)-2(9k+4))
<=>2k+1|(9-8)
<=>2k+1|1
Or les divisieurs de 1 sont -1 et 1
D'où 2k+1=1 ou 2k+1=-1

Je te laisse terminer

[inviteb7961ec3]

ah.. je le voyais pas comme ça mais ça me parait être bon.
merci bien pour ton aide.
a+

[hhh86]

Au fait pour démontrer |2k+1|=<|9k+4|
Pour tout k>=0
2k+1>=0 ==>|2k+1|=2k+1
9k+4>=0 ==>|9k+4|=9k+4
Or 9k+4-(2k+1)=7k+3>=0
D'où |2k+1|=<|9k+4| pour tout k>=0
Pour tout k<=-1
2k+1<=-1<=0 ==>|2k+1|=-(2k+1)
9k+4<=-5<=0 ==>|9k+4|=-(9k+4)
Or 9k+4-(2k+1)=7k+3<=-4<=0
D'où -(9k+4)+(2k+1)>=0
Donc |2k+1|=<|9k+4| pour tout k<=-1

Il en résulte que pour tout entier k |2k+1|=<|9k+4|

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

On cherche l'ensemble des entiers k tels que 2k+1|9k+4

Non. Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans que l'un des deux ne divise l'autre. Par exemple est premier avec 7 mais 10 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 10.

Pour répondre à la question il suffit d'utiliser l'identité de Bézout : si l'on trouve deux entiers relatifs et tels que alors et sont premiers entre eux (car tout diviseur commun à et divise donc divise 1).

[hhh86]

Non. Deux nombres peuvent être premiers entre eux sans que l'un des deux ne divise l'autre. Par exemple est premier avec 7 mais 10 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 10.

Ce que tu dis ne nous avance à rien. Il y a un petit problème de logique là dedans.
En effet je dis a n'est pas divisible par b ou b n'est pas divisible par a implique a et b sont premiers entre eux

Il faut donc prendre le problème dans l'autre sens.

4 et 6 ne sont pas premiers entre eux mais 4 n'est pas divisible par 6 et 6 n'est pas divisible par 4

[Flyingsquirrel]

En effet je dis a n'est pas divisible par b ou b n'est pas divisible par a implique a et b sont premiers entre eux

Mais c'est faux : 6 n'est pas divisible par 9, 9 n'est pas divisible par 6 et pourtant ces deux nombres ne sont pas premiers entre eux puisque leur pgcd est 3.

[hhh86]

justement, c'est ce que j'explique au post précédent si tu l'avais lu plus attentivement, j'ai donné un contre exemple moi-même.
Le problème de ta réponse vient du fait que tu donnes un contre exemple de la réciproque. "Par exemple est premier avec 7 mais 10 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 10."

[hhh86]

Pour répondre à la question il suffit d'utiliser l'identité de Bézout : si l'on trouve deux entiers relatifs et tels que alors et sont premiers entre eux (car tout diviseur commun à et divise donc divise 1).

Je suis d'accord avec ceux-ci. J'avais trouvé une réponse un peu plus compliqué par l'absurde équivalente mais la méthode que tu énonces est beaucoup plus courte.


En fait il suffit de montrer que a et b ne sont pas premiers entre eux implique qu'il existe deux entiers non nul k et k' tels que k’a-kb=0 avec |k'| différent de b et |k| différent de a dans un premier temps.
Ensuite on applique ceci au cas demandé (je remplace k' par a et k par b pour la lisiblilité):
On a alors a(2k+1)-b(9k+4)=0
2ak+a-9bk-4b=0
k(2a-9b)+a-4b=0
k(2a-9b)=4b-a
Comme 4b-a est constant, alors k(2a-9b) est constant pour tout k appartenant à Z.
Donc pour k=0, k(2a-9b)=0 et pour k=1, k(2a-9b)=2a-9b
D’où 2a-9b=0
Par conséquant 4b-a=0 donc 8b=2a
D’où 8b-9a=0
Ainsi b=0, ce qui est absurde.
Donc 2k+1 et 9k+4 sont premiers entre eux pour tout entier k

[Flyingsquirrel]

justement, c'est ce que j'explique au post précédent si tu l'avais lu plus attentivement, j'ai donné un contre exemple moi-même.

Oui mais tu écris « je dis a n'est pas divisible par b ou b n'est pas divisible par a implique a et b sont premiers entre eux » comme si tu considérais cette affirmation comme vraie et ensuite tu en donnes un contre-exemple du coup moi je suis un peu perdu.

Le problème de ta réponse vient du fait que tu donnes un contre exemple de la réciproque. "Par exemple est premier avec 7 mais 10 ne divise pas 7 et 7 ne divise pas 10."

Ce que je comprends c'est que tu cherches les valeurs de telles que divise puis tu dis que pour ces valeurs de , et ne sont pas premiers entre eux. Or, pour conclure, c'est-à-dire trouver tous les tels que , tu as besoin de connaître toutes les valeurs de pour lesquelles et ne sont pas premiers entre eux. Qui te dit que tu les as toutes trouvées ? Il existe peut être des valeurs de pour lesquelles et ne se divisent pas l'un l'autre et et qui ne sont pas premier entre eux (d'où le contre-exemple avec 7 et 10).

Je suis toujours à côté de la plaque ?

[hhh86]

Bon de toutes façons, on est d'accord sur le fait que ma démonstration initiale est fausse ou dumoins incomplète