une suite qui n'a pas de limites, peut-elle etre quand meme etre majoree?

[stephatie]

merci bcp encore une fois
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[erik]

Salut,

est majorée (et minorée) et n'admet pas de limite.

[stephatie]

en fait, j'ai ce qcm ou deux reponses par qcm sont correctes:

on considere trois suites (Un), (Vn) et (Wn) qui verifient la propriete suivante:
" pour tout entier naturel n strictement positif: Un< =Vn< =Wn "

1) si la suite (Vn) tend vers moins infini, alors:
a) la suite (Wn) tend vers - infini
b) la suite (Un) est majoree
c) la suite (Un) tend vers - infini
d) la suite (Wn) n'a pas de limites.

Moi j'ai choisi: a) et c) par le theoreme d'encadrement. c'est bon?

2) Si lim (Un)=-2 et lim (Wn) = 2, alors
a) la suite (Vn) est majoree
b) lim (Vn)=0
c) la suite (Vn) n'a pas de limite
d) on ne sait pas dire si la suite (Vn) a une limite ou non.

Moi j'hesite entre a et b ou a et c.

merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiii

[Bruno]

1) si la suite (Vn) tend vers moins infini, alors:
a) la suite (Wn) tend vers - infini
b) la suite (Un) est majoree
c) la suite (Un) tend vers - infini
d) la suite (Wn) n'a pas de limites.

Moi j'ai choisi: a) et c) par le theoreme d'encadrement. c'est bon?

Non, ça n'a rien avoir. Contre exemple au a) : V_n = -n et W_n = n . Le c) est correct.

2) Si lim (Un)=-2 et lim (Wn) = 2, alors
a) la suite (Vn) est majoree
b) lim (Vn)=0
c) la suite (Vn) n'a pas de limite
d) on ne sait pas dire si la suite (Vn) a une limite ou non.

Moi j'hesite entre a et b ou a et c.

a) est correct
b) est faux, contre-exemple : U_n=-2, V_n=-2, W_n=2
c) est faux, cfr b)
d) est correct : tu peux avoir V_n=sin(n) qui oscille entre -1 et 1 par exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanpaul]

Un simple dessin t'aiderait grandement.

[stephatie]

ah ok merci Bruno donc pour la 1) :
1) si la suite (Vn) tend vers - infini alors :
b) et c) sont correctes non ? car pour b) une suite qui tend vers - infini est forcement majoree ??

et aussi je voulais etre sure du reste : est-ce que c'est bon :
toujours pour le meme enoncé :

3) si Un = (2n² - 1) / n² et Wn = (2n² + 3) / n² alors :
a) lim (Wn) = 0
b) lim (Vn) = 2
c) lim (Un) = 2
d) la suite (Vn) n'a pas de limite

alors j'ai mis b) et c) vrais

4) si Un >= 1, Wn = 2 Un et lim (Un) = L alors :
a) lim (Vn) = L
b) la suite (Wn) tend vers + infini
c) lim (Wn - Un) = L
d) on ne sait pas dire si la suite (Vn) a une limite ou non

alors la j'ai mis a) et c) vrais

merci encore une fois !!

[Bruno]

ah ok merci Bruno donc pour la 1) :
1) si la suite (Vn) tend vers - infini alors :
b) et c) sont correctes non ? car pour b) une suite qui tend vers - infini est forcement majoree ??

Oui.

et aussi je voulais etre sure du reste : est-ce que c'est bon :
toujours pour le meme enoncé :

3) si Un = (2n² - 1) / n² et Wn = (2n² + 3) / n² alors :
a) lim (Wn) = 0
b) lim (Vn) = 2
c) lim (Un) = 2
d) la suite (Vn) n'a pas de limite

alors j'ai mis b) et c) vrais

Oui, c'est une conséquence immédiate du critère de l'étau.

4) si Un >= 1, Wn = 2 Un et lim (Un) = L alors :
a) lim (Vn) = L
b) la suite (Wn) tend vers + infini
c) lim (Wn - Un) = L
d) on ne sait pas dire si la suite (Vn) a une limite ou non

alors la j'ai mis a) et c) vrais

a) Faux : V_n est forcément bornée par L et 2L, mais ça n'implique pas qu'elle converge (cfr exemple du sinus).
b) Faux : par la définition de W_n et les propriétés des limites, on a lim W_n = lim 2.U_n = 2.lim U_n = 2L.
c) Vrai : par les propriétés des limites, on a : lim (W_n-U_n) = lim (W_n) - lim (U_n) (car elles existent) = 2L - L = L
d) Vrai : cfr b)

Note que le cas embarrassant où L=0 est exclu par .

[stephatie]

merci beaucoup !!!
tu m'as super bien aidé !!