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[B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]



  1. #1
    JoeHeiyy

    Lightbulb [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]


    ------

    Une suite Un peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?

    Si oui comment le démontrer? Si non quel est le contre exemple a donner?

    -----

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  3. #2
    SoaD25

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Bah oui la suite constante :

    C'est une suite arithmétique de raison 0 et une suite géométrique de raison 1

  4. #3
    JoeHeiyy

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Merci Beaucoup =)

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Citation Envoyé par SoaD25 Voir le message
    Bah oui la suite constante :
    Ce sont d'ailleurs les seules suites à la fois arithmétiques et géométriques.

  6. #5
    tuan

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Salut,
    Je tente une démonstration... à discuter
    - définition d'une suite géométrique : Un+1 = Un .q (raison q) (1)
    - définition d'une suite arithmétique : Un+1 = Un +r (raison r) (2)

    S'il s'agit de la même suite... (1)-(2) donne
    0 = Un .(q-1) -r
    Cette expression étant indépendante de Un donne
    q-1 = 0, càd q=1
    et r=0

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lapin savant

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    hummm......je terminerais plutôt sur :
    0 = Un .(q-1) -r ssi Un = r/(q-1)

    ce qui revient à considérer, en fixant r et q, plus de suites constantes que ce que tu as annoncé.

    edit : non, en fait, si tu fixes U0, cela revient au même. Je pense que ta démo est juste.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

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  10. #7
    tuan

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    hummm......je terminerais plutôt sur :
    0 = Un .(q-1) -r ssi Un = r/(q-1)

    ce qui revient à considérer, en fixant r et q, plus de suites constantes que ce que tu as annoncé.

    edit : non, en fait, si tu fixes U0, cela revient au même. Je pense que ta démo est juste.
    Salut,
    Mes cours de math sont assez loin derrière moi… je n'ai plus assez d'arguments pour discuter (d'où le "… à discuter" dans mon précédent post)

    J'attire simplement l'attention sur 2 points:
    1. Dans notre problème les inconnues à déterminer sont q et r . Quant à Un , il prend un rôle analogue à "x" dans les polynômes en x dont on cherche à déterminer les coefficients.
    2. (Une analogie) Lorsque qu'un polynôme de ce type (pour simplifier) Ax2 +Bx + C est identiquement nul qu'on écrit par abus Ax2 +Bx + C = 0 (je précise que ce n'est pas une équation !) on déduit que A=B=C=0 (des équations cette fois)

    Si tu trouves que "ma" démonstration est bonne, explique-nous un peu mieux sa conclusion s'il te plaît...

    Bon amusement.

  11. #8
    tuan

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Citation Envoyé par tuan Voir le message
    ...
    Si tu trouves que "ma" démonstration est bonne, explique-nous un peu mieux sa conclusion s'il te plaît...
    ...
    Salut,
    En relisant ma question, je ne la trouve pas claire... Je voulais dire que la conclusion que j'ai faite à partir de
    0 = Un .(q-1) -r (*)
    càd "q=1 et r=0" ne me satisfaisait pas par manque de démonstration...

    J'en tente (encore) une..
    L'expression (*) devant être valable pour 2 termes a priori distincts de la suite, Ui et Uj, j'écris
    0 = Ui .(q-1) -r (1)
    0 = Uj .(q-1) -r (2)

    (1)-(2) donne 0 = (Ui-Uj).(q-1) d'où q=1 et par suite r=0

    Seulement... une telle suite donne aussi Ui=Uj !!!
    Quelqu'un aurait-il un commentaire ?

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : [B]Une suite U[IND]n[/IND] peut-elle être à la fois arithmétique et géométrique?[/B]

    Citation Envoyé par tuan Voir le message
    Seulement... une telle suite donne aussi Ui=Uj !!!
    Quelqu'un aurait-il un commentaire ?
    Je pense qu'il vaut mieux donner des valeurs à et . On peut par exemple s'en sortir en prenant et :

    Premier terme de la suite :
    Deuxième terme de la suite : .

    De (1) on déduit . En remplaçant par dans (2) on obtient c'est-à-dire .
    Il y a deux cas possibles :
    • Soit . Alors et la suite est constante (et peut prendre n'importe quel valeur).
    • Soit . Dans ce cas donc , et la suite est également constante.



    On peut aussi montrer que la suite est constante en étudiant la limite du quotient quand (si ce produit est nul tous les termes de la suite le sont également et la suite est constante) :

    Si la suite est arithmétique de raison et géométrique de raison (avec l'hypothèse ) alors le quotient est constant et vaut 1. Or, si ,
    et si ,
    Les seuls cas possibles sont donc .
    • ne convient pas car la suite de terme général n'est pas monotone alors que celle de terme général l'est.
    • Quant à , pour que cette valeur convienne on doit avoir
      ce qui n'est possible que si .

    Réciproquement on vérifie bien que si et la suite obtenue est constante.

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