Olym

[invite74751338]

Salut ;

je me suis bloqué dans cette exo d'olympiad.
Exo :
Soit :
Montrer que :

P.S : (k+1)! désigne k+1 factorielle .

Sauf erreur bien entendu
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Exo :
Soit :
Montrer que :

Pour prouver la deuxième inégalité on peut majorer la somme par la somme des termes d'une suite géométrique bien choisie.

[inviteec9de84d]

Flyingsquirrel, tu proposes une solution élégante, j'aime !
Mais sortir une suite "bien choisie".....parce que comme ça, rien ne me vient (ou alors je suis un âne....).

Il y a aussi la possibilité de montrer "directement" que 1-(somme) > 0, mais l'expression est bourrine et ça ne se révèle pas si évident que ça !

[Flyingsquirrel]

Mais sortir une suite "bien choisie".....parce que comme ça, rien ne me vient (ou alors je suis un âne....).

Non, c'est moi l'âne, ma solution est fausse (mais ce matin elle était correcte, j'en suis sûr ). Ceci dit j'en ai trouvé une autre en regardant les valeurs que prend la somme pour des petites valeurs de (je note ) :

• 
• 
• 
• 
• 

Si l'on arrive à prouver que , c'est gagné.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

Bah tu as fait le plus dur !
Par récurrence, cette nouvelle forme se montre facilement.

PS: on n'en parle pas, mais tout le monde a bien vu que l'inégalité de gauche était facile?

[invitebe08d051]

Bonsoir

On peut aussi modifier la somme afin de faire apparaitre une téléscopie, qui est clair vu le résultat trouvé par Flyingsquirrel:



L'inégalité se déduit alors facilement.

Cordialement