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Devoir maison sur l'Algorithme de Babylone.



  1. #1
    vogue-xll

    Devoir maison sur l'Algorithme de Babylone.


    ------

    Bonjour, j'aurais besoin d'une très grande aide pour mon devoir maison de maths que l'algorithme de babylone.. Merci d'avance de m'aider..
    Voilà le sujet:
    I. 1 -Les réels a et b sont deux réels positifs tels que √p ≤ a et ab= p.
    Pourquoi a-t-on alors (√p) / a ≤ 1 ?. En déduire que p / a ≤ √p et donc que b ≤ √p ≤ a.

    2- Les réels a et b sont deux réels positifs tels que a×b= p. Montrez que: (a+b)² - 4ab > 0.
    Déduisez de cela que l'on a: √p ≤ 1/2 (a+b).

    3- Les réels a et b sont deux réels positifs tels que a×b= p et √p ≤ a.
    Déduisez des questions 1 et 2 que l'on a: b ≤ √ p ≤ 1/2 (a+b) ≤ a.

    II. Encadrement de √41 par des nombres relationnels.
    1- Premère étape:
    Nous savons que 41 ≤7². Comparez √41 et 7.
    Posons a1= 7 et prenons b1 tel que a1×b1= 41. Combien vaut b1 ?.
    D'aprés la question I.1, quel est l'encadrement √41 obtenu ?
    Calculez l'amplitude de cet encadrement ?

    2- Deuxième étape:
    Considérons le mileu de l'intervalle [b1; a1]. Calculez ce nombre. On l'appelle a2.
    a- D'aprés la question I.3, montrez que √41 ≤ a2 ≤ 7.

    b- Calculez b2 tel que a2×b2= 41. Quel encadrement peut-on en déduire pour √41 ? Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? Comparez avec la permière étape.

    3. Troisième étape.
    On recommence le processus de la deuxième étape en remplacant [b1; a1] par [a2; b2].
    Quel encadrement obtient-on pour √41 ?
    Vérifier que l'ampltiude de cet encadrement est d'environ 10 puissance -4.

    4. Quatrième étape.
    On recommence comme à l'étape précédente. Donnez le nouvel encadrement obtenu.
    Quelle est son amplitude ? (sous forme de puissance de 10).
    Vérifier avec votre machine la pertinence de cet encadrement.



    Voilà, j'aurais vraiment besoin d'aide s'il vous plait sur ce DM, car je ne comprends rien du tout, j'ai beau chercher mais je ne trouve rien du tout.. Je suis complétement perdu.. J'aimerais beaucoup avoir de l'aide s'il vous plait...
    Merci d'avance, et bonne journée à vous.

    -----

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  3. #2
    Mahmoud-05

    Re : Devoir maison sur l'Algorithme de Babylone.

    Bonsoir

    Je vois que cet exercice est basé sur la partie I .La partie II est une application de I. Je vais essayer de t'expliquer la partie I et c'est à toi de répondre à la II.

    Premier réflexe : saisir toutes les données de l'exercice.
    Ce réflexe s'acquit en lisant la question attentivement et en essayant de faire des comparaisons, de trouver des relations entre la question et les données.
    Pour I.1 on à : a et b sont deux réels positifs tels que √p ≤ a et ab= p.
    Donc pour démontrer que (√p) / a ≤ 1 on va utiliser la donnée : √p ≤ a.
    on pose : √p ≤ a => √p /a ≤ 1 ( on divise par a ) et ( a est différent de 0)
    Après on à : En déduire que p / a ≤ √p et donc que b ≤ √p ≤ a
    Si on relis la question on va certainement comprendre pourquoi on vient de démontrer que √p /a ≤ 1 ( donc on va l'utiliser pour répondre )
    on pose : on sait que √p /a ≤ 1 donc en multipliant par √p on va avoir : √p (√p /a) ≤ 1 x(√p) donc p/a ≤ √p parce que (√p x √p=(√p)²=p)
    Après on à : ab=p donc p/a = b.
    et on a démontré que (√p) / a ≤ 1 donc en multipliant par √p on va avoir : √p (√p /a) ≤ 1 x(√p) donc p/a ≤ √p et on vient de citer que b = p/a donc on à qu'a remplacer p/a par b .Enfin on obtient : b ≤ √p (*)
    Tu vois bien qu'après une bonne lecture l'exercice devient de plus en plus claire.On a comme donnée : √p ≤ a (**)
    conclusion : de (*) et (**) on a : b ≤ √p et √p ≤ a donc b ≤ √p ≤ a
    Question 2 : Montrez que: (a+b)² - 4ab > 0
    on va développer l'identité remarquable (a+b)²
    on obtient : (a+b)² - 4ab
    = a² + b² + 2ab - 4ab
    = a² + b² - 2ab
    = (a-b)²
    et (a-b)² >0 parce que un carré est toujours positif
    donc comme (a+b)² - 4ab = (a-b)² et (a-b)² >0 donc (a+b)² - 4ab >0
    Question 2 : Déduisez de cela que l'on a: √p ≤ 1/2 (a+b).
    d'après la question on à : (a+b)² - 4ab > 0
    donc (a+b)² > 4ab
    donc (a+b) > 2√(ab)
    p=ab implique : √p=√(ab)
    on remplace √ab par √p
    on obtient (a+b) > 2√p
    on divise par 2 donc : (a+b)/2 > √p qui est : √p ≤ 1/2 (a+b)
    Question 3 : Les réels a et b sont deux réels positifs tels que a×b= p et √p ≤ a.
    Déduisez des questions 1 et 2 que l'on a: b ≤ √ p ≤ 1/2 (a+b) ≤ a
    d'après la Q 1 : b ≤ √p
    d'après la Q 2 : √p ≤ 1/2 (a+b)
    donc : b ≤ √p ≤ 1/2 (a+b)
    il nous reste à démontrer que 1/2 (a+b) ≤ a
    d'après la question 1 : b ≤ √p ≤ a donc b ≤ a donc 1/2b ≤ 1/2a donc 1/2b + 1/2a ≤ 1/2a + 1/2a donc 1/2(b+a) ≤ a(1/2+1/2) donc 1/2(b+a) ≤ a
    Conclusion : b ≤ √ p ≤ 1/2 (a+b) ≤ a
    Et ainsi la partie I est terminée donc c'est à toi de jouer !
    Conseil : essaye de comprendre les mathématiques pour bâtir ta personnalité non pas pour avoir une bonne note.
    Bon courage.
    Salam

  4. #3
    Flyingsquirrel

    Re : Devoir maison sur l'Algorithme de Babylone.

    Bonjour,

    Mahmoud-05, pourquoi donner une (demi-)correction de l'exo à vogue-xll ? Nous ne sommes pas là pour faire ses devoirs à sa place, il serait plus profitable de le guider dans la résolution plutôt que de lui servir les réponses sur un plateau.

    M'enfin bon, depuis le temps vogue-xll en a surement fini avec cet exercice.

  5. #4
    Mahmoud-05

    Re : Devoir maison sur l'Algorithme de Babylone.

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Bonjour,

    Mahmoud-05, pourquoi donner une (demi-)correction de l'exo à vogue-xll ? Nous ne sommes pas là pour faire ses devoirs à sa place, il serait plus profitable de le guider dans la résolution plutôt que de lui servir les réponses sur un plateau.

    M'enfin bon, depuis le temps vogue-xll en a surement fini avec cet exercice.
    Bonsoir Flyingsquirrel,

    Je respecte votre commentaire au sujet de la demi correction, je pensait que ça irait mieux pour vogue-xll si je le donnais des réponses avec quelques explications.Comme ça il comprendra la logique de ces exercices.
    Cordialement
    Mahmoud-05

  6. A voir en vidéo sur Futura

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