Elimination d'un médicament

[invite26bf6a73]

Bonjour à tous,

Je demande votre aide sur cet exercice car je suis complètement pommé du début à la fin, je n'ai réponse à aucune des question (à part la 1), nous n'avons fait presque aucun exercice sur les equa diff en classe ...

On décide de mesurer, en fonction du temps, la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un patient en traitement dans un hôpital.

A l'instant t, exprimé en minutes, on note q(t) la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenur dans le sang d'un patient.
On admet que la fonction q est solution de l'équation différentielle (E): 4y'+y = -0.002t+2.992, où y est une fonction de la variable réelle t définie et dérivable sur [0;1440] et y' sa fonction dérivée.

1/

a. Résoudre l'équation (E0):4y'+y=0 sur [0;1440].

b. Déterminer les 2 nombres réels a et b tels que la fonction g définie sur [0;1440] par g(t)=at+b soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).

c. Soit h une fonction définie et dérivable sur [0;1440]. Démontrer que h est solution de (E) équivaut à (h-g) est solution de (E0).

d. En déduire l'ensemble des solutions de (E).

2/

a. Démontrer que la solution q de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale q(0)=0 est la fonction définie sur [0;1440] par q(t)=3-0.002t-3e-t/4.

b. Calculer la dérivée de q sur [0;1440].

c. Étudier les variations de q sur [0;1440] et donner son tableau de variations.

3/

a. Au bout de combien de temps, la quantité de principe actif est-elle maximale?

b. Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24 heures après l'injection du médicament.

Je sais que ce que je vous demande est contre le principe même de ce forum mais je complètement perdu, svp de l'aide
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[invite26bf6a73]

Auriez-vous des pistes pour les premières questions ? Je bloque vraiment là :/
Merci d'avance

[invitea3eb043e]

Cet exercice est de splus classiques et je ne comprends pas comment on peut le poser sans avoir fait le cours qui va avec.
Alors, reprenons :
Essayons si g = a t + b peut vérifier l'équation de départ.
g'= a
4 g' + g = -0,002 t + 2,992 équivaut à :
4 a + a t + b = - 0,002 t + 2,992 qui n'est possible que si
a = -0,002 et
4 a + b = 2,992 soit b = 3

Ensuite on écrit que h vérifie :
4 h' + h = -0,002 t + 2,992 et aussi que g ci-dessus vérifie :
4 g' + g = -0,002 t + 2,992 et on soustrait membre à membre sans oublier que la dérivée de (h-g) vaut (h' - g')
4 (h-g)' + (h-g) = 0
Ce qui montre que h-g vérifie l'équation simplifiée (dite sans second membre).
4 y' + y = 0
qui équivaut à
y'/y = -1/4
On reconnaît à gauche la dérivée de Ln(y) et à droite celle de -t/4 + C où C est inconnue
Donc Ln(y) = -t/4 + C et y = A exp(-t/4)
d'où on tire h-g= A exp(-t/4)
Donc h = (n'y a qu'à recopier)