Fonction Périodique

[invite74751338]

Salut !

Exercice :
Soit une fonction tel que :
Prouver que est Périodique et determiner Sa Période.

je suis totalement bloqué .
Mérçi d'avance .
-----

[ansset]

Salut !

Exercice :
Soit une fonction tel que :
Prouver que est Périodique et determiner Sa Période.

je suis totalement bloqué .
Mérçi d'avance .

je te propose ça, mais ce n'est peut être pas très "élégant".

f(x+2)=f(x-1)f(x+5) soit
f(x)=f(x-3)f(x+3) et donc aussi
f(x+3)=f(x+6)f(x) on en deduit en remplaçant.
f(x+6)f(x-3)=1

et donc en plus simple
f(x)f(x+9)=f(x)f(x-9)=1
donc f(x-9)=f(x+9)

[invite74751338]

Salùt !

Meme on Trouve que : f(x-9)=f(x+9) ça vx pas dire que 9 est la période !
Faut trouve f(x+T)=f(x) .

Alors je suis Tjr interessé a une Solution =)

P.S : On remarque que la periode est 18 ! Mais comment demontrer ceci =)

[ansset]

si f(x-9)=f(x+9)
alors f(x+18)=f(x)

la prochaine fois, je me tais !
salut

[A voir en vidéo sur Futura]

[mimo13]

Salùt !

Meme on Trouve que : f(x-9)=f(x+9) ça vx pas dire que 9 est la période !

Par changement de variable .

[ansset]

tu le fais exprès ou quoi ?
f(x-9)=f(x+9)
DONC f(x)=f(x+18) qui EST la periode

je veux bien aider en math , mais pas expliquer ce qu'est une addition !!

[Flyingsquirrel]

f(x)=f(x-3)f(x+3) et donc aussi
f(x+3)=f(x+6)f(x) on en deduit en remplaçant.
f(x+6)f(x-3)=1

Attention, implique seulement si

[ansset]

Attention, implique seulement si

t'es un marrant toi !
il s'agit d'une equation quelque soit x.
alors evidement, si f(x)=0 pour tout x, de toute façon elle est périodique , LOL !!!

[mimo13]

t'es un marrant toi !
il s'agit d'une equation quelque soit x.
alors evidement, si f(x)=0 pour tout x, de toute façon elle est périodique , LOL !!!

Ce que tu dit est vrai, mais il faut quand même le signaler.

[Flyingsquirrel]

t'es un marrant toi !

Pas vraiment non.

il s'agit d'une equation quelque soit x.
alors evidement, si f(x)=0 pour tout x, de toute façon elle est périodique , LOL !!!

Non plus. La relation est effectivement vraie pour tout réel mais on ne peut en déduire l'affirmation « pour tout réel » que si « pour tout réel ». Et des fonctions qui ne vérifie pas cette dernière proposition il y en a plein (le contraire de « ne s'annule jamais » est « s'annule en (au moins) un point » et non pas « s'annule en tout point »).

[danyvio]

alors evidement, si f(x)=0 pour tout x, de toute façon elle est périodique

Ce ne serait pas ne fonction périodique, mais une fonction constante, sauf à décréter que, à la limite, une fonction constante est une fonction périodique de période indéterminée....

[ansset]

j'y reviens,

bien sur que f doit s'annuler quelque part,
mais,
-ou bien f s'annule partout, et la question n'a plus d'interet.
-ou bien on prend l'equation pour ce qu'elle est, ç-a-d continue et valable quel que soit x.
-ou bien on explique qu'il existe des fonctions "bizarres" , non-continues avec lesquelles on peut faire un peu n'importe quoi...

[Flyingsquirrel]

c'est une question de lycée, il ne s'git pas de théorie des distributions avec des fonctions "presque partout" !!!
ce n'est pas non plus une reflexion epistemiologique pour avoir raison .

Au lycée on est capable de comprendre que la division par zéro n'a aucun sens.

ou bien, tu proposes une autre solution.

Pourquoi ? C'est de votre raisonnement dont il s'agit. Je vous montre qu'il n'est pas correct, je ne vais pas non plus réécrire la solution complètement.

[invite74751338]

Salùt...voilà une Solution Complete (Sauf Erreur bien entendu)...
f(x+2)=f(x-1).f(x+5)
pour x+2=X ça devient donc:
f(x)=f(x-3).f(x+3) (1)
----------------------------------
f(x+2)=f(x-1).f(x+5)
pour x-1=X ça devient :
f(x+3)=f(x).f(x+6) (2)
-------------------------------------
f(x+2)=f(x-1).f(x+5)
pour x+5=X ça devient:
f(x-3)=f(x-6).f(x) (3)
------------------------------------------------
supposons que(pour tout x de IR) f(x)≠0...alors :
maintenant en multipliant (1) par (2) on a :
f(x).f(x+3)=f(x-3).f(x+3).f(x).f(x+6)
f(x-3).f(x+6)=1
pour x-3=X
f(x).f(x+9)=1 (a)
----------------------------------------------
en multipliant (1) par (3) on a :f(x+3).f(x-6)=1
encore changement de variable pour : x+3=X:
f(x).f(x-9)=1 (b)
----------------------------------------------
de (a) et (b) on a :
f(x).f(x+9)=f(x).f(x-9)
<=>f(x+9)=f(x-9)
alors pour : x-9=X
f(x+18)=f(x)
18£Df
alors T=18
P.S: je n'ai pas discuté le cas où (pour tout x de IR): f(x)=0...car c'est Simple a faire .
J'ais pas cru que ce Exo vas posé un tel Prob Dsl ! Mérçi Pour votre Aide.

[invite74751338]

Ree !
Exemple, d'une fonction f telle que f(x+2)=f(x-1).f(x+5) :



... Et on a bien T = 18 .

Sauf Erreur bien entendu

[Flyingsquirrel]

P.S: je n'ai pas discuté le cas où (pour tout x de IR): f(x)=0...car c'est Simple a faire .

Non, les cas que tu n'as pas traités sont ceux où s'annule en au moins un point. Je me répète mais tant pis : le contraire de « ne s'annule jamais » est « s'annule en au moins un point » et pas « est identiquement nulle ».

[ansset]

tu es du genre compliqué toi !

c'est vrai qu'il existe aussi des fonctions "presque continues" partout, et pour ça , on a developpé la théorie des distributions, mais c'est très loin d'être du niveau d'un exercice de collège et même de lycée.

voire même en prepa, car du coup il n'y a plus vraiment de règle de continuité, on ne peut qu'integrer la valeur au mieux.
mais est-ce bien l'exercice demandé ??

sinon,
Axess, je suis d'accord avec ta demo , MOI !

[ansset]

on peut en inventer des fonctions qui deviennent folles en x=N pour N entier et qui sont continues partout ailleurs.
auquel cas, aucune demo n'est possible !!
je suis parti du principe que la fonction était continue ...
pardon.

[Flyingsquirrel]

@ ansset : Vous vous répéter, je vous ai déjà répondu au message n^o13. Quant aux fonctions « presque continue » et à la théorie des distributions je ne vois vraiment pas ce que ça vient faire dans ce fil.

[ansset]

maintenant, puisque tu le propose, je veux bien LA demonstration complête, jeune padawan !!

[ansset]

re bonjour,

pour essayer de clore ce petit debat, je ne comprend pas le soucis avec f(x)=0

si f(x)=0, alors f(x+3)=f(x)f(x+6)=0
et de manière général f(x+3N)=0

la périodicité est encore plus simple.

[SchliesseB]

comme Flyingsquirrel essai de vous l'expliquer, f peut très bien s'annuler en un point (par exemple en 0) et dans ce cas votre relation f(x-9)=f(x+9) n'est plus vraie en x=0.

nul besoin de parler de distribution et quoi que ce soit...

re bonjour,

pour essayer de clore ce petit debat, je ne comprend pas le soucis avec f(x)=0

si f(x)=0, alors f(x+3)=f(x)f(x+6)=0
et de manière général f(x+3N)=0

la périodicité est encore plus simple.

certes, mais seulement pour les x ou f s'annule.
on sait ainsi que si f(x0)=0 alors f(x0+3N)=0 aussi (en particulier f(x0+18)=f(x0))
ne reste alors à montrer proprement que si f(x0) n'est pas nul
alors f(x0+18)=f(x0)

[ansset]

ne reste alors à montrer proprement que si f(x0) n'est pas nul
alors f(x0+18)=f(x0)

ce que j'ai déjà fait depuis le debut !
car la seule remarque que j'ai eu, un peu pour me titiller était que je n'avais pas tenu compte du cas f(x)=0.

[SchliesseB]

on ne parle pas de f(x)=0 pour tout x mais f(x)=0 pour (au moins) un certain x et ce n'est pas si trivial que ça...

c'est pourquoi je te proposais de montrer que si
f(x0)=0 (x0 est fixé, il ne varie plus) alors f(x0+18)=0 ce que tu as fais
si f(x0) n'est pas nul alors f(x0+18)=f(x0)

en montrant dans ce cas que tu avais bien le droit de simplifier comme tu l'as fait en montrant que f(x0+3), f(x0-3)... ne sont eux aussi pas nuls