Suite Un introuvable

[invitea4ee0803]

Bonjour, je suis en Terminale S et je bloque sur un des exercices de mon devoir de maths, que voici :
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Soit (Un) la suite définie par U0=1 et par Un+1= Un/(racine(Un²+1))

Donner une formule explicite de (Un).

-> Le calcul des premiers termes permet de pronostiquer la formuler cherchée. Ensuite ce n'est plus qu'une affaire de récurrence.

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Donc, voila après avoir lu cette dernière phrase de l'énoncé, j'ai décidé de calculer U1= 1/(racine(2)).

Mais je n'arrive toujours pas a trouver le moyen de trouver la suite Un. J'espère que quelqu'un pourra me mettre sur la voie.
Merci d'avance.
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[invite551c2897]

Bonjour.

U1= 1/(racine(2)).

Bien.
Puis :
U2=1/(racine(3))
U3=...

[inviteae7fd42d]

Bonjour,

en fait comme c'est precise dans l'enonce, il faut que tu calcules un peu plus que juste le premier de la suite afin de pouvoir pronostiquer la forme de ta suite: on trouve



.....
et donc a priori (a toi)

Ensuite il ne te reste plus qu'a montrer que la formule pronostiquée est correcte en utilisant une recurrence...

[invite4af455c2]

Bonsoir ou plutôt bonjour pour la France.

Bon on va calculer pas à pas les premiers termes de la suite:


On peut donc généraliser la forme (extrêmement simple ici) de la suite pour les prochains termes.

Cordialement

Edit: idem nico

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea4ee0803]

D'accord, donc si je comprend bien, je vais me retrouver avec une suite de la forme :

Un=1/(racine(n))

Mais aprés comment la démontrer par recurence ? Parceque je sais démontrer qu'une suite est vraie quand il s'agit d'un "encadrement" (ex: montrer que Un appartient a [0,1]) mais si c'est ce cas par quoi je dois "encadrer" Un pour le verfier ?

[invite4af455c2]

Bonjour,

Attention ta suite commence au rang 0 et donc ta réponse quoique proche est encore fausse.
Le principe de la récurrence est de démontrer l'initialisation ce que nous avons fait 3 fois dans cette discussion. Puis d'admettre que la proposition est vrai au rang n et le montrer au rang suivant (soit n+1).
A toi de jouer!

Cordialement.

[invitea4ee0803]

Bonjour,

Attention ta suite commence au rang 0 et donc ta réponse quoique proche est encore fausse.

ah oui, j'avais pas pris ça en compte, ça devrait donc être Un=1/(racine(n+1)).

Le principe de la récurrence est de démontrer l'initialisation ce que nous avons fait 3 fois dans cette discussion. Puis d'admettre que la proposition est vrai au rang n et le montrer au rang suivant (soit n+1).

- Soit, je pense avoir compris le concept, mais la ou ça bloque, c'est que je ne sais pas comment démontrer cette initialisation.
Je m'explique, on a U0= 1 ; U1= 1/(racine(2)); U2=...

mais il me faut donc prouver que U0=1 est vraie, or je n'ai rien pour le prouver (et je ne peux pas utiliser Un puisque c'est une supposition j'imagine.)

- Même problème pour l'hérédité, je n'arrive pas a trouver un encadrement ( a part que ce soit 0=<n<n+1 ?)

Merci pour vos réponses.

[invite62bc11da]

Bon alors il faut que tu montres Un =1/(sqrt(n+1)

On sait par l'énoncé que U0=1 donc il faut que tu vérifies qu'avec ta formule U0=1 aussi. Dans ce cas ton hypothèse sera vraie au rang 0 : initialisation.

[invitea4ee0803]

En gros, je devrais répondre de cette manière :

On a U0=1
et Un+1= Un/(racine(Un²+1))

Calculons les premiers termes de la suite :

U1=1/(racine(2))
U2=1/(racine(3))
U3=1/(racine(4))
U4=...

On suppose alors a partir des termes calculés la relation :

Un=1/(racine(n+1))

Supposons que cette relation soit vrai (n appartient a Naturels) et vérifions la pour n=0 (Initialisation)

Un=1/racine(n+1))
U0=1/racine(0+1))
U0=1 La propriété est vrai pour n=0

Supposons que la relation Un soit vrai pour tout n :

Et la.... j'y arrive pas -_- . J'ai vraiment du mal a me le visualiser et j'ai l'impression que ce que j'ai écris plus haut est faux car j'ai l'habitude de faire une initialisation avant de supposer que Un soit vrai.

[invite62bc11da]

En gros, je devrais répondre de cette manière :

On a U0=1
et Un+1= Un/(racine(Un²+1))

Calculons les premiers termes de la suite :

U1=1/(racine(2))
U2=1/(racine(3))
U3=1/(racine(4))
U4=...

On suppose alors a partir des termes calculés la relation :

Un=1/(racine(n+1))

Supposons que cette relation soit vrai (n appartient a Naturels) et vérifions la pour n=0 (Initialisation)

Un=1/racine(n+1))
U0=1/racine(0+1))
U0=1 La propriété est vrai pour n=0

Supposons que la relation Un soit vrai pour tout n :

Et la.... j'y arrive pas -_- . J'ai vraiment du mal a me le visualiser et j'ai l'impression que ce que j'ai écris plus haut est faux car j'ai l'habitude de faire une initialisation avant de supposer que Un soit vrai.

Voila la rédaction que tu dois adopter:

En fait l'initialisation c ce que tu as fait tu as calculé U(0) avec ta formule tu as calculé =1 Or l'énoncé nous dis que c'est égal à 1. Donc vrai au rang 0.

Maintenant hérédité on supose vrai au ran g n soit un =1/sqrt(n+1)

Prouvons que c'est vrai au rang n+1
etc...

[invitea4ee0803]

Oui, mais quand j'essaye de faire ça , cela me donne :

Un=1/racine(n+1)) est vrai au rang n. Si on remplace par le rang n+1 , on a :

Un+1=1/racine((n+1)+1)), ce qui est juste mais qui ne correspond pas a la formule donnée :

Un+1= Un/(racine(Un²+1))

[invite62bc11da]

alors Un+1=1/racine((n+1)+1)) c'est ce à quoi tu dois arriver
Tu dois le démontrer pour que ce soit vrai au rang n+1

Et il faut que tu te serves de ce que tu sais de Un+1 et la seule chose que tu saches c'est :
Un+1= Un/(racine(Un²+1))

Tu pars donc de
Un+1= Un/(racine(Un²+1))
et tu dois ariver à
Un+1=1/racine((n+1)+1))

Il faut que tu serves de ton hypothèse (hérédité).
A toi de jouer

[invitea4ee0803]

Ah !! j'ai compris.

J'ai remplacé Un et Un²=1/(n+1) dans Un+1 et au finale je retombe sur Un+1=1/racine((n+1)+1)), ce qui me permet de dire que Un est vraie.

Merci beaucoup pour votre aide !!