Simple question de rigueur en maths

[invite2dce9cf5]

Bonjour chers internautes,

J'ai une question très simple. Lorsqu'on réalise une série de calculs en mathématiques (et non en physique-chimie ou on utilise les chiffres significatifs), qu'on trouve un résultat en valeur approchée, et qu'on a à réutiliser ce résultat pour un calcul suivant, est-ce qu'on utilise la valeur exacte ou la valeur approchée trouvée précedemment ?
J'illustre pour mieux me faire comprendre :

A=631/89=7.0899 (arrondi à 0.0001 près)
B=896/98=9.143 (arrondi à 0.001 près)

C=A+B
on fait : C=A+B=631/89 + 896/98 = 10113/623 = 16.2327 (v.approchée)

ou bien : C=A+B=7.0899+9.143=16.5029


Ma question peut vous paraître assez bête pour un élève de première scientifique, mais c'est un corrigé d'un livre qui a suscité un doute de ma part, dans lequel ils utilisaient les valeurs approchées.

Merci à vous.
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[invite51d17075]

A=631/89=7.0899 (arrondi à 0.0001 près)
B=896/98=9.143 (arrondi à 0.001 près)

C=A+B
on fait : C=A+B=631/89 + 896/98 = 10113/623 = 16.2327 (v.approchée)

ou bien : C=A+B=7.0899+9.143=16.5029

ben non la somme fait 16,2329 et pas 16,5029 !
si tu additionnes deux chiffres vrais à un millième près, la somme ne peut pas dériver comme ça.

[invitec17b0872]

Lorsqu'on réutilise des résultats déjà établis dans une nouvelle expression, il convient de reconsidérer leur valeur exacte (ici la fraction) et non pas leur valeur arrondie (ici les quantités décimales) sans quoi on accumule des erreurs d'arrondis tout le long du problème.
Et c'est aussi bien vrai en maths qu'en physique-chimie. Les chiffres significatifs ne nous dédouanent pas de la rigueur du calcul. Une quantité arrondie ne doit jamais être réutilisée telle quelle.

[invite6c146f6c]

En mathématiques, on te demandera beaucoup plus souvent les valeurs exacte, lorsque tu construira des tableaux de variations, il te faudra garder des valeurs exactes.

cela te fait donc :

après tu peut donner un encadrement, ou donner une valeur approchée après avoir donnée la valeur exacte, mais les valeurs approchées sont explicitement demandé dans un exercice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

j'ai du mal à vous saisir.
dans l'exemple donné 16,2329 très prêt de 16,2327.

clairement, en math, on demande souvent une demonstration "exacte".
quitte parfois à arriver à une équation ingérable.

dans un boulot d'ingenieur par contre, on cherche souvent le plus court chemin.
une equation sans solution immédiate est moins productive qu'un estimé malin.

d'ailleurs à ce titre, l'instruction des maths aux USA est bien moins rigide et fixé sur LA reponse exacte.
un developpement limité est même considéré comme plus malin que de "chercher" LA solution d'une équation de 3ème ou 4ème degré.

et pour revenir à la question initiale, quand on additionne 2 chiffres estimés à 1/1000 la somme ne deviendra jamais erroné à 1/100....

[invitec17b0872]

Je ne vois vraiment pas l'intérêt d'aller introduire des développements limités quand on peut accéder à la valeur exacte.
D'autant que les ingénieurs disposent de moyens informatiques puissants pour résoudre les équations à leur place, d'une manière exacte ou approchée selon l'équation à résoudre. On ne va pas aller invoquer un DL à l'ordre 3 pour trouver la racine d'une polynôme du second degré quand on connaît le calcul rigoureux qui est à coût bien moindre que celui d'un DL.
D'un point de vue pédagogique, savoir compter rigoureusement et calculer c'est la première rigueur scientifique à acquérir à mon sens, et ça ne fait jamais de mal.

Enfin, faire une erreur sur deux termes qu'on va sommer peut être quasi-inopérante, autrement dit, négligeable, mais il ne s'agit pas toujours de sommes, et selon les fonctions qu'on considère, une petite erreur sur l'argument introduit une grande erreur sur le résultat final.

[Bruno]

Je ne vois vraiment pas l'intérêt d'aller introduire des développements limités quand on peut accéder à la valeur exacte.
D'autant que les ingénieurs disposent de moyens informatiques puissants pour résoudre les équations à leur place, d'une manière exacte ou approchée selon l'équation à résoudre. On ne va pas aller invoquer un DL à l'ordre 3 pour trouver la racine d'une polynôme du second degré quand on connaît le calcul rigoureux qui est à coût bien moindre que celui d'un DL.

Cela dépend du polynôme et de ses coefficients. Une valeur approchée est plus facilement manipulable qu'une valeur exacte qui nous impose des calculs de malade où on est sur de faire une faute de calcul. Va injecter dans lors d'un examen où tu es privé de machine à calculer Si on dispose de moyens informatiques, cela revient tout de même à calculer des valeurs approchées.

[invite51d17075]

Je ne vois vraiment pas l'intérêt d'aller introduire des développements limités quand on peut accéder à la valeur exacte.
.......................
Enfin, faire une erreur sur deux termes qu'on va sommer peut être quasi-inopérante, autrement dit, négligeable, mais il ne s'agit pas toujours de sommes, et selon les fonctions qu'on considère, une petite erreur sur l'argument introduit une grande erreur sur le résultat final.

bien sur, pi par exemple est un truc super pratique dans la vie quotidienne.
et surtout si tu veux tracer une courbe ( une route ) je t'interdis de faire une approximation.

quand à la somme de deux o(x) , ça restera toujours un o(x).
d'ailleurs, je ne sais même pas pourquoi on nous apprend ça en sup.
ça doit servir à rien, s'il faut toujours trouver la solution exacte.
et que fait-on souvent quand on cherche des limites en +- l'infini .
si on ne néglige pas les entiers ou les x par rapport aux x² par exemple.

je ne neglige pas du tout la recherche de solutions.
mais il ne faut pas non plus sous-estimer les approches plus heuristiques, qui d'ailleurs souvent permettent de "sentir" l'ordre de grandeur d'un resultat.

j'ai vu des élèves partir dans des équations incroyables, et à l'occasion d'une boulette, finir par un resultat totalement absurde, sans s'en rendre compte.

[invitec17b0872]

C'est vrai que, comme je l'ai exposé, on pourrait croire que je bannis toute approximation. Mea culpa.
Il est bien évident qu'il faut avoir du recul sur les valeurs qu'on emploie, et calculer rigoureusement (1-10^-10)² ne sert pas à grand chose, j'en conviens. Pour autant, dans les cas simples invoqués supra, vous conviendrez sûrement comme moi que si c'est simple et rapide pour soi (en fonction du niveau de chacun), on réinjecte le résultat tel quel.
En tout cas, on m'a toujours répété ça pour ne pas cumuler erreur sur erreur.

[invité576543]

[invite2dce9cf5]

Merci à tous d'avoir répondu.


J'ai bien compris qu'il est préférable de reprendre les valeurs exactes, et non approximatives, sans quoi on se retrouverait avec des résultats faussés, notamment avec l'accumulation des calculs dans un problème.


Merci à tous de m'avoir aidé et bonne soirée.

[invite2dce9cf5]

Ah oui, une petite note : pour la physique-chimie, il nous est demandé de considérer les valeurs arrondies selon les chiffres significatifs, et donc utiliser les valeurs arrondies et non exactes.

par exemple :
(valeurs et exemples aléatoires, inexacts)

M(CO2)= 985.666667= 986 g.mol-1
M(MNO4)= 587.22 = 587 g.mol-1

M(CO2)+M(MNO4)=986+587= 1573 g/mol
et non les valeurs exactes (fraction)



Bye Bye

[invite51d17075]

he ben bravo à vous !

je m'incline.
il est probablement plus intelligent de demander à qcq de faire des équations que de simplement reflechir parfois.

d'ailleurs, personne ( à part moi ) n'a relevé l'erreur d'addition du départ du post.

maintenant, je veux bien que l'esthétisme des maths soit plus forte que de chercher à comprendre...
mais quand j'entend "cette suite" :
diverge vers l'infini , et après ...
non pardon tend vers 0 , parceque j'ai oublié un terme....

alors que c'était visible depuis le début.

il faut mettre un peu de sens là dedans, et pas uniquement jouer avec des formules .....

[danyvio]

Mon petit "grain de sel" : un des théoriciens de la théorie du chaos (je n'ai plus son nom en tête) avait été intrigué par le fait que, en reprenant (après une pause café ou autre) des données intermédiaires imprimées par son ordinateur, voyait ensuite des résultats complètement différents de ceux auxquels il s'attendait, et qu'il avait obtenu la veille. Tout simplement parce que les nombres imprimés étaient tronqués (disons avec 7 décimales), alors les "vraies" valeurs en mémoire interne avaient peut-être 50 décimales.

Ceux qui pratiquent des calculs d'optimisation (avec Simplex ou autre) connaissent bien le phénomène de dégénérescence, dû à l'incertitude des calculs informatique. Il est évident pour nous que 1/3 multiplié par 3 donne exactement 1. Pour une machine qui stocke même 500 décimales, le résultat peut être aléatoire....

[invite51d17075]

bien sur danyvio !

mais parlons nous de ça !
chaque phénomène a son degré d'incertitude.
un cas par exemple de trois astres proches qui donne une incertitude maximale.

je ne pense pas qu'on puisse apprendre le plaisir des maths avec la théorie du chaos !!
au contraire, il faut revenir souvent vers le réel

[invite2dce9cf5]

he ben bravo à vous !

je m'incline.
il est probablement plus intelligent de demander à qcq de faire des équations que de simplement reflechir parfois.

d'ailleurs, personne ( à part moi ) n'a relevé l'erreur d'addition du départ du post.

maintenant, je veux bien que l'esthétisme des maths soit plus forte que de chercher à comprendre...
mais quand j'entend "cette suite" :
diverge vers l'infini , et après ...
non pardon tend vers 0 , parceque j'ai oublié un terme....

alors que c'était visible depuis le début.

il faut mettre un peu de sens là dedans, et pas uniquement jouer avec des formules .....

bravo d'avoir trouvé l'erreur !
De quelle équation parlez-vous ? :s

Ma question au début était simplement est-ce qu'il faut toujours considérer les valeurs exactes pour les calculs ou bien arrondies, question que j'ai illustré par un exemple tout bête, et j'ai trouvé réponse, pas de quoi faire tout un plat Erreur de calcul ou pas, l'essentiel, c'est que le sens de la question était clair et est passé pour certains, mais malheureusement pas pour d'autres ...
Ce n'est pas une erreur de calcul qui faussera le sens du post, et la raison pour laquelle il a été créé, à savoir répondre à une question toute simple !

Et quelle ironie débordante ...

Bonne soirée.

[invite51d17075]

ben ça c'était FAUX
ou bien : C=A+B=7.0899+9.143=16.502

après tu peux faire de la dialectique.....si tu veux.
sur du faux on peut dire n'importe quoi !
j'espère que tu feras de grandes études !!

[Bruno]

Ah bah oui, avec Maple j'obtient ça aussi. Mais tu n'as pas toujours une machine à disposition (et encore moins à un examen!).

[invite51d17075]

mais alors que vaut PI na008 ??

c'est juste une question !

[invite2dce9cf5]

ben ça c'était FAUX
ou bien : C=A+B=7.0899+9.143=16.502

après tu peux faire de la dialectique.....si tu veux.
sur du faux on peut dire n'importe quoi !
j'espère que tu feras de grandes études !!

Encore bravo vous voulez des félicitations pour avoir détécté cette erreur qu'un élève de 6ème aurait inéluctablement trouvé !


Une erreur ne fait pas la capacité ou non d'une personne à faire ou non des études, car enfin l'erreur est humaine, et celui qui n'en commet point n'est pas humain, surtout pour une simple erreur de calcul comme celle commise qui ne relève nullement de lacunes scolaires par exemple.
Enfin faut-il bien apprendre de ses erreurs et ne pas les refaire plusieurs fois.

Et une petite notification pour vous, s'il se faisait que vous êtes complexé ou gêné par la petitesse de votre parcours, de votre profession, poste ou autre choses de ce genre (je ne dis pas que vous l'êtes), ce forum n'est pas le lieu pour exprimer votre mécontentement ou haine vis-à-vis des plus jeunes.

"j'espère que tu feras de grandes études !!" : c'est bas, dites clairement ce que vous voulez dire sans vous cacher, quelle immaturité venant d'un adulte de 49 ans. Enfin vous ne pouvez en juger car vous ne connaissez ni mes capacités à réussir, ni mes résultats, ni mon niveau.
Votre snobisme intellectuel m'irrite car vous vous croyez capable de juger de tout ("études"). Enfin est-il que vos réponses à ce post sont toutes hors-sujet, et que vous n'avez apporté aucune aide.
En ce qui concerne la bienséance qui n'est apparamment pas une de vos valeurs, on vouvoie ceux qu'on ne connaît pas, s'il vous plaît.


Enfin, pour les modérateurs, je vous serait reconnaissant de fermer ce post car des débordements ont lieu, malgré que la question postée initialement était très claire.


Et je dis encore, on apprend de ses erreurs, apprenez donc des vôtres, ansset.

[invite2dce9cf5]

mais alors que vaut PI na008 ??

c'est juste une question !

π (bien noté π et non pas pi)

π ≈3,141592653589793238462643383 279502884197169399375105820974 944592307816406286208998628034 825342117068


Bravo vous êtes bon, vous attendez qu'on vous le dise :bravo1: bravo de savoir user de votre calculatrice .

C'est nul ! Allez, cliquez sur la croix rouge d'en haut et allez cracher ailleurs votre venim.
Et en lisant tous vos messages, je vous trouve bien rageux, vous ! Ou plûtot je te trouve bien rageux comme tu aimes bien tutoyer !